结合律的本质(续二)

回到前面在等式(a+b)+c=(a+c)+b中，到底有没有使用加法结合律呢?第一节课下课后，学生在操场上做课间操，我和周老师又站在一起。我说其实有没有使用加法结合律或许并不重要，重要的是式子中蕴含的计算过程。周老师说，总要给学生一个答案吧。说得也是。

我继续思考:(a+b)+c=a+(b+c)，这显然是使用了加法结合律的，那么(a+b)+c=(b+c)+a也应该是使用了加法结合律的。进一步思考(a+b)+(c+d)+(e+f)=(a+c)+(b+e)+(d+f)定然是使用了加法结合律的。因此加法结合律的本质应该是一个数舍弃了原来与之相加的数，另行选择了一个数相加。括号就是就这种本质的在形式上体现，可以认为是一种善意的提醒。

为了更加理解这种“结合”的真谛，我们不妨打一个不恰当的比喻:就好比一个人原本有一个要结婚的对象，但经过一些考虑，最后决定与另一个人结婚。也就是改变了与之“结合”的对象。这就是“结合律”的本质吧。

我们还可以打一个计算方面的比方。比如大家都熟悉的计算24点。我们不考虑究竟用哪一种运算，我们统一理解为运算就好。在很多情形下，计算出24点的方法是不唯一的，这就是因为每一步运算的对象不同，尽管最后殊途同归，但过程各异，这就是“结合”不一样所决定的。

在理解24点运算之后，我们不妨更高阶思维。之前我们讨论(a+b)+c=(a+c)+b式子是否使用了加法结合律，我们是建立在将算式写在纸上表象基础之上的。我们想象一下，a，b，c是写在三张卡片上的数字，将a，b靠在一起表示“结合”，即相当于加了括号。那么将a，c靠在一起，或将b，c靠在一起，与将a，b靠在一起是没有任何区别的。原因就是通过卡片的方式理解，已经不再具有原来的那种前后或先后之分，留下的仅有谁与谁靠在一起——“结合”的本质。

如此一来，先算谁后算谁并不是关键，尤其当加数众多的时候更能凸现这一点。也就是说有没有改变运算顺序并不是加法结合律的本质。加法结合律的本质，就在于一个数是否改变了与之相加的数。