等差数列前n项和的最值问题

上期给大家分享了一些等差数列的基础问题，今天来分享有关等差数列前n项和的最值问题。通常当首项a1和公差d异号的时候就会存在这类问题。先来看一个比较简单的题

已知一个等差数列的任意两项，就可以先把这个等差数列的通项公式求出来

接下来有两套思路，对应两种方法。

第一套思路是利用函数性质求最值，所以要先求出Sn，然后可以发现Sn是关于n的二次函数，用求二次函数的方法，分析开口方向和对称轴即可

这里需要注意n是整数，如果求出对称轴的值不是整数，则需要就近取整数值。

第二套思路是分析项的正负。道理很简单：“正数越加越大，负数越加越小”，于是我们可以通过an的正负来判断Sn的增减

有些时候，可能存在两个n的值都使Sn取到最值，即存在“双最值”的情况，比如下面这道题

首先转化题目条件，根据等差数列的性质得出a4=0

这道题不像上一题，可以求出一个确定的通项公式及前n项和公式，那么还能用方法一吗？其实是可以的，代着d去做就可以了

可以看出，Sn仍然是关于n的二次函数，只不过含有参数d，但是我们知道d是大于0的，而且求对称轴的时候也可以约去d，丝毫不影响我们判断开口方向和求对称轴的值

这里求出来对称轴的值就不是整数，而且就近取整数的话可以取到两个，实际上两个都是最小值，这就是所谓的“双最值”问题

当然也可以利用方法二，判断项的正负，但是其中有一项a4=0.这也是“双最值”问题最显著的一个特征——存在一项为0

还有一些题，也是在考查最值问题，但是考查形式比较隐蔽，比如下面这道题

题目条件实际上在变相告诉我们通项公式，我们也可进而求出前n项和Sn，接着利用开口和对称轴求出最大值。我们发现这还是一个“双最值”问题

那么“有且仅有两个”意味着一定就是这两个，所以这个最大值要大于等于k

又因为“仅有”，所以其他的值都要小于k.而除了S4和S5，最大的就是S3和S6了，我们也可以称其为“次大值”，很显然这个“次大值”要小于k

最后再一综合即可得出k的最终取值范围

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