(概率论基础3)随机变量及其分布律-总结

2019-05-01 本文已影响0人 To_QT

离散型随机变量

以飞行棋中扔骰子为例，开局只有扔到6才能出发。

分布律

对于随机变量而言，每一个值都对应着试验中发生的一个概率，记为 $p$ ，离散型随机变量的取值范围是有限可列的，因此，随机变量的 $n$ 个取值就有 $n$ 种概率。那么，好事者需要知道这个随机变量所有的取值，就诞生了分布律的概念。

骰子中每一面（每一种可能的结果）就是一次试验的结果，那么可能的结果就是离散型变量的取值范围。那么，6个面就代表有6种取值，每一种取值都对应一个概率，都是 $1/6$ 。那么把它们都汇总到一张表中，这张表所表示的内容，就是分布律。

$X$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
$P$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

分布函数

在进行随机试验的结果中，第一次试验的结果可能不尽人意，因此你想要尝试再试一次，直到。。。10次投掷之后，你仍然在大本营里转悠，回头看看这10次试验的所有结果，你发现，在这10次结果中，你的点数是这样的：

点数	1点	2点	3点	4点	5点	6点
次数	1	3	4	1	1	0

看了这10次的结果，你需要尽快出门，于是修改了规则：不需要扔到6点，只要扔到点数小于4即可，这样的话，小于任意一个实数的所有可能性之和，称作为分布函数。通俗的说，就是研究的目标从一个点变成了一个范围。那么，用数学公示表达就是： $P(X \leq x)$ ，在你的提议中， $x=3$ 。你能够大本营离开的几率从原来的 $P\left \{ X=x_6 \right \}=1/6$ ；提升到了 $P\left \{ X \leq 3 \right \}=P\left \{ X =x_1 \right \} + P\left \{ X =x_2 \right \} + P\left \{ X =x_3 \right \} = 1/2$ 。

随机变量函数的分布函数

这个标题应该划分成：随机变量 / 的函数 / 的分布函数。
依旧是飞行棋，你的对手一听，小于4点你就能走了？为了尽可能保证自己的优势，又防止你放弃游戏，就说，这样吧，你投的点数的平方小于6，你才能走，这样的话，"投的点数的平方" 就是一个随机变量的函数，即 $Y=X^2$ ，那么这样的话：

$X$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
$Y$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$
$P$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

你朋友的内心OS：1/2太大了，整小点，我可能会多走几步。于是乎就有了 $P\left \{ Y \leq 6 \right \}=P\left \{ X^2 \leq 6 \right \} = P\left \{ X =x_1 \right \} + P\left \{ X =x_2 \right \} = 1/3$

二维随机变量

你终于出门了，但是发现对手已经跑完半圈了，这个时候，他提议要不然玩点刺激的：在掷骰子之前，先掷硬币，正面向上，你掷骰子的点数翻倍，若是硬币反面朝上，你掷骰子的点数是多少，你后退多少步。

掷骰子和掷硬币，二者之间没有啥联系，非要说联系，就是都是通过你投掷的，因此，硬币可能的取值和骰子可能的取值，这两个随机变量，就是相互独立的。由掷硬币和掷骰子共同决定一次能走多少步，则称之为联合分布，原先两个独立的事件（掷骰子和掷硬币）在这样的情况下，只能改名叫边缘分布了。

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
硬币正面	$走2步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走4步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走6步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走8步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走10步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走12步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$
硬币反面	$走-1步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走-2步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走-3步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走-4步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走-5步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$	$走-6步:p=\frac{1}{2} \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$

连续型随机变量

同样的

离散型随机变量中的分布律，在连续性随机变量中称为概率密度。
离散随机变量的分布函数，是计算小于某一实数（掷骰子中是3）所有概率之和，那么连续型随机变量的分布函数，也是计算小于某一实数的和，但是在连续性随机变量中是取不尽的，咋办，在高树中，各种极限的累加，可以用积分来处理，因此，求某一随机变量 $X$ 在一个数 $x$ 的分布函数（所有可能性小于这个数 $x$ ），其实就相当于计算概率密度函数在小于 $x$ 的积分。

那么，在二维连续型随机变量中，两个随机变量共同决定的概率密度，叫做联合概率密度。我要求边缘概率密度怎么办？以 $X$ 为例，随机变量 $X$ 的概率密度和 $Y$ 没有关系，那就把令关于 $Y$ 部分的和为1就好了，也就是求联合概率密度对 $Y$ 求积分。

更进一步地想，联合分布函数（二维）是对随机变量 $X$ 和 $Y$ 在内的积分，也就是说，其实就是两个实数： $x、y$ 在 $xOy$ 平面上圈了一块地，现在要在这块地上建一个房子。
这个房子有两个要求：

房子的总体积为1.
房子的盖子的形状，要跟 $f(x,y)$ 保持一致。

两个随机变量的函数的分布

那么两个随机变量的函数的分布又是一个什么鬼？
$x,y$ 两人按照要求盖好了房子，准备入住，另一个随机变量 $Z$ 过来说，我也要盖房子，给我一点建议吧。我呢，你们俩凑合凑合就可以伪装成我，即：

$Z=X+Y$
$\begin{align} f(z)=& \int_{-\infty}^{\infty} f(x,z-x)dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} f(z-y,y)dy \tag{1.1} \end{align}$
$Z=XY$
$\begin{align} f(z)=& \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}f(x,z/x)dx \\ \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|y|} f(z/y,y)dy \tag{1.2} \end{align}$
$Z=Y/X$
$\begin{align} f(z)=& \int_{-\infty}^{\infty} |x| f(x,z/x)dx \\ \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} |y| f(z/y,y)dy \tag{1.3} \end{align}$
$Z=max(X,Y)$
$\begin{align} F(z) =F(x) F(y) \tag{1.3} \end{align}$
$Z=min(X,Y)$
$\begin{align} F(z) =1-[1-F(x)][1-F(y)] \tag{1.3} \end{align}$