主成分分析法(PCA)(含SVD奇异值分解)等降维(dimens

亲们早安、午安、晚安，上一篇主成分分析法(PCA)等降维(dimensionality reduction)算法-Python主要是了解了PCA的原理和基于Python的基本算法实现，本文主要是学习scikit-learn (sklearn)中关于降维(dimensionality reduction)的一些模型，侧重于PCA在sklearn中的实现。

在sklearn中的Dimensionality Reduction中，包含的降低特征维度的方法包括主成分分析法PCA（这里面又包括不同类型的PCA方法，一般的PCA，KernelPCA, SparsePCA, TruncatedSVD, IncrementalPCA ）、因子分析法FA（factor analysis）、独立成分分析ICA等

1、主成分分析法PCA

1）Exact PCA 

这个方法主要是利用上一篇主成分分析法(PCA)等降维(dimensionality reduction)算法-Python中的方法，基于奇异值分解（Singular Value Decomposition）来线性降维到低维度的空间。

啥？怎么跑出来个奇异值分解SVD？这是线性代数里的名词，关于线性代数的知识，推荐查看网易公开课里的麻省理工线性代数课程，里面有关于SVD的详细计算。当然，如果想知道SVD的几何意义，我觉得We Recommend a Singular Value Decomposition非常好，图文并茂，极力推荐，由此也进一步理解了主成分分析PCA。

（1）SVD

首先考虑对角矩阵如M,如果M与一个向量（x,y）相乘如图1，表示将(x,y)进行长度的变化如图2：

图1 图2

根据图2的变化可知，对角矩阵M的作用是将水平垂直网格作水平拉伸（或者反射后水平拉伸）的线性变化。

如果M是图3中的对称矩阵，那么它和向量(x,y)相乘后，也可以找到一组网格线（如图4）

图3 图4

看着图4有点蒙圈，貌似不是简单的线性变化，辣么，先把图4中左边图旋转45度，然后再乘以M，然后得到下面的情况：

图5

图5表明，先旋转45度，然后再和M相乘，此时又可以只进行简单的拉伸变化。

对比图4-5，当原始矩阵乘以对称矩阵时，不一定还是进行线性变化（只在一个方向进行伸缩变化），除非这个映射时，两边的正交网络是一致的。

再比如更加一般的非对称非对角矩阵M（如图6）：

图6 图7

观察图7，对于任意一个向量，当一个一般矩阵M作用在其上面时，很难只是做线性变化。但是，我们可以如图7最下面一行的变化，找一组网格，找两个正交向量来表示向量。

图8 图9

对角矩阵Σ对角线上的取值σ_1，σ_2就是矩阵M的奇异值。

图10

综上所述：奇异值分解SVD几何意义：对于任何的一个矩阵，我们要找到一组两两正交单位向量序列，是的矩阵作用在此向量序列后得到新的向量序列保持两两正交。奇异值的几何意义：这组变化后的新的向量序列的长度。从图10中看到，奇异值分解和特征值求解很相似，但是特征值必须是方阵才存在，但任何矩阵都可以进行奇异值分解。

好啦，奇异值分解SVD差不多搞清楚了，为啥要进行奇异值分解，其实它表现的就像PCA的意义那样，用这些关键较少数量的奇异值（奇异向量）来表示原来可能比较庞大的东东，因此，在图像压缩等方向应用的比较多。如下：

比如，图11是一个15*25的图片，其像素组成是图12中的M矩阵

图11 图12

结果计算发现，图12中M的非零奇异值只有三个：σ1= 14.72；σ2= 5.22；σ3= 3.31

那么，根据上面奇异值几何意义，其实图11中的图片是可以用这三个奇异值向量来表示的：M=u1σ1v1^T+u2σ2v2^T+u3σ3v3^T,，这一将原来可能要对375个像素点的计算变为123个像素点的计算。还有个问题需要强调，可能实际图片不像图11中那样纯粹，可能存在噪声，如图13（图中出现的那些灰色的地方表示噪声）

图13

图13中像素矩阵得到的奇异值为：σ1= 14.15；σ2= 4.67；σ3= 3.00；σ4= 0.21；σ5= 0.19...

σ15= 0.05等，但是看到还是前三个特征值比较大，因此，继续用σ1，σ2，σ3表示该图片，其他的奇异值舍去，最终得到新的图片见图14，显然图14中噪声变少了。

图14

关于SVD的这个奇异的理解(同时包含PCA于SVD的联系)，下面知乎大牛的解释可能更清楚点：

图15 图16

(2)简单PCA模型

class sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, copy=True, whiten=False, svd_solver='auto', tol=0.0, iterated_power='auto', random_state=None)

n_components->表示最终要保留的主成分特征数，如果不设置，则保留全部特征

whiten->是否进行白化，默认为false。啥是白化？因为我们在PCA中，保留主要的特征来计算决策，因此难免有误差，为了降低误差，通过白化来降低特征值之间的相关性，使其协方差矩阵变为对角矩阵。具体，来自知乎大牛关于PCA白化的解释很详细，请参考下图17：

图17

在PCA中，原始数据如图17最左边的红色图表示；然后用原始矩阵减去均值，然后求解协方差矩阵，将数据依据协方差矩阵方差最大的轴进行旋转，得到图17中部绿色显示内容；然后进行白化whiten，就是白化操作的输入是特征基准上的数据，然后对每个维度除以其特征值来对数值范围进行归一化。如果数据服从多变量的高斯分布，那么经过白化后，数据的分布将会是一个均值为零，且协方差相等的矩阵（及单位协方差矩阵），如图17中最右边蓝色图示。

svd_solver->指定奇异值分解SVD的方法，由于特征分解是奇异值分解SVD的一个特例，一般的PCA库都是基于SVD实现的。有4个可以选择的值：{‘auto’, ‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’}。randomized一般适用于数据量大(数据量超过500*500)，数据维度多同时主成分比例又较低(低于80%)的PCA降维，它使用了一些加快SVD的随机算法。 full则是传统意义上的SVD，使用了scipy库对应的实现。arpack和randomized的适用场景类似，区别是randomized使用的是scikit-learn自己的SVD实现，而arpack直接使用了scipy库的sparse SVD实现。默认是auto，即PCA类会自己去在前面讲到的三种算法里面去权衡，选择一个合适的SVD算法来降维。一般来说，使用默认值就够了。

举栗子1：

图18 栗子1准备数据 图19 栗子1PCA处理数据 图20 栗子1效果图

篇幅有限（其实是能力+精力有限，捂脸），sklearn中的PCA模型先介绍到这里，以后再深入研究。希望内容对大家有所帮助，也希望大牛不吝赐教。