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1、二叉排序树存在的问题

（1）案例数列：{1,2,3,4,5,6}，创建一颗二叉排序树(BST)

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（2）这颗BST所存在的问题

1. 左子树为空，从形式上看更像是一条单链表
2. 插入速度没有收到影响，和往常二叉树一样
3. 查询速度明显降低(需要依次比较)，无法发挥出BST的优势；因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢。
4. 解决方案：主角登场-- 平衡二叉树 (AVL)

2、何为AVL 树，基本介绍

1. 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树， 可以保证查询效率较高。
2. 平衡二叉树是基于二叉排序树的一种，可以说是增强吧(后面比较两者代码，起始就是扩展)
3. 平衡二叉树特点：
   （1）它是一颗空树，或者左右两颗子树高度差绝对值不超过 1
   （2）左右两颗子树都是一颗平衡二叉树
   （3）常见的实现：红黑树，AVL（这里是一种算法），替罪羊树，Treap，伸展树等

4. 下面属于AVL树的是：

   
   image.png

3、平衡二叉树的单旋转之【左旋转】思路

• 问题分析：当插入 节点 8时，rightHeight() - leftHeight() > 1成立(柚子树大于左子树)，此时不再是一颗平衡二叉树

处理步骤如下：详情见代码 【avl 4和 avl 6】

1. 创建一个新的节点 newNode(以 root节点 4 这个值创建)；创建一个新的节点(已经创建的 节点 4)，值等于当前根节点的值。

   
   image.png

2. 把新节点的左子树，设置成当前节点的左子树【newNode.left = left】

   
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3. 把新节点的右子树，设置成当前节点的右子树的左子树【newNode.right = right.left 】

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4. 把当前节点的值，换为右子节点的值【value = right.value】

   
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5. 把当前节点的右子树，设置成右子树的右子树【right = right.right】

   
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6. 把当前节点的左子树，设置为(指向)新节点【left = newNode】

   
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• 最终形态图

  
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  左旋转动画.gif

4、平衡二叉树的单旋转之【右旋转】思路

• 问题分析：当插入 节点 6时，rightHeight() - leftHeight() > 1成立(左子树大于右子树)，此时不再是一颗平衡二叉树【右旋既降低左子树高度】

处理步骤如下：详情见代码 【avl 5和 avl 7】

1. 创建一个新的节点 newNode(以 root节点 10 这个值创建)；创建一个新的节点(已经创建的 节点 10)，值等于当前根节点的值。

   
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2. 把 新节点的右子树设置成当前节点(root)的右子树【newNode.right = right 】

   
   image.png

3. 把 新节点的左子树设置成当前节点(root)的左子树的右子树【newNode.left = left.right 】

   
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4. 把当前节点的值切换成左子节点的值【value = left.value】

   
   image.png

5. 把当前节点(root)的左子树，设置成左子树的左子树 【left = left.left】

   
   image.png

6. 把当前节点(root)的右子树设置成 新节点【right = newNode】

   
   image.png

• 最终形态：

  
  image.png
  右旋转动画.gif

5、平衡二叉树的【双旋转】思路

1、左右旋转问题分析：

1. 在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。
   比如数列：
   int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 【左比右高2】运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL树.
   int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; // 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL树

   
   image.png

2、对分析出的问题解决：详情见代码 【avl 8和 avl 9】

1. 情况一：如果是左子树的右子树的高度，大于左子树的左子树的高度时，就对当前跟节点先进行 左旋转，然后再对当前根节点进行右旋转。

2. 情况二：否则对当前根节点进行右旋转即可。

   
   image.png

6、AVL代码实现【基于二叉排序树】

package com.kk.datastructure.tree.availabletree.avl;

/*
 * @Description:    平衡二叉树（单双旋转，增删查，基于二叉排序树）
 * @Author:         Jk_kang
 * @CreateDate:     2021/1/30 16:08
 * @Param:          
 * @Return:          
**/
public class AVLTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        //int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
        //int[] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 };
        int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
        //创建一个 AVLTree对象
        AVLTree avlTree = new AVLTree ( );
        //添加结点
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            avlTree.add (new Node (arr[i]));
        }

        //遍历
        System.out.println ("中序遍历");
        avlTree.infixOrder ( );

        System.out.println ("在平衡处理~~");
        System.out.println ("树的高度=" + avlTree.getRoot ( ).height ( )); //3
        System.out.println ("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot ( ).leftHeight ( )); // 2
        System.out.println ("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot ( ).rightHeight ( )); // 2
        System.out.println ("当前的根结点=" + avlTree.getRoot ( ));//8
    }
}

// 平衡二叉树（基于二叉排序树）
class AVLTree {

    private Node root;

    public Node getRoot() {
        return root;
    }


    public void delNode(int value) {
        if (root == null) {
            return;
        } else {
            // 1.先找到要删除的节点 targetNode
            Node targetNode = search (value);
            // 2.如果没有找到要删除的节点
            if (targetNode == null) {
                return;
            }
            // 3.如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个节点【自己】
            if (root.left == null && root.right == null) {
                // 只有一个节点当然是只有 root，删除的就是 root咯
                root = null;
                return;
            }

            // 4.如果不只有一个节点，去找到 targetNode 的 父节点
            Node parent = searchParent (value);
            // 5.情况一：如果要删除的是叶子节点
            if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
                // 5.1 判断要删除的节点 targetNode 是父节点的左子树，还是柚子树
                if (parent.left != null && parent.left.value == value) {
                    // 是左子节点
                    parent.left = null;
                } else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
                    // 是右子节点
                    parent.right = null;
                }
            } // 情况三：删除两颗子树的节点
            else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {
                int minValue = delRightTreeMin (targetNode.right);
                targetNode.value = minValue;
            }
            // 情况二：删除只有一颗子树的节点
            else {
                // 如果要删除的节点有左子树
                if (targetNode.left != null) {
                    if (parent != null) {
                        // 如果 targetNode 是 parent 的左子节点
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.left;
                        }
                        // 如果 targetNode 是 parent 的右子节点
                        else {
                            parent.right = targetNode.left;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.left;
                    }
                }
                // 如果要删除的节点有右子树
                else if (targetNode.right != null) {
                    if (parent != null) {
                        // 如果 targetNode 是 parent 的左子节点
                        if (parent.right.value == value) {
                            parent.left = targetNode.right;
                        }
                        // 如果 targetNode 是 parent 的右子节点
                        else {
                            parent.right = targetNode.right;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.right;
                    }
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 查找的二叉排序树的最小值,然后删除
     *
     * @param node 传入的节点（当做二叉排序树的根节点）
     * @return 返回的是 以 node 根节点的二叉排序树的最小节点的值(标识)
     */
    private int delRightTreeMin(Node node) {
        Node target = node;
        // 递归查找左子树，最底下既最小
        while (target.left != null) {
            target = target.left;
        }
        // 此时 target 指向了最小的节点
        // 删除最小节点
        delNode (target.value);
        return target.value;
    }

    // 查找要删除的节点
    public Node search(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.search (value);
        }
    }

    // 查找父节点
    public Node searchParent(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.searchParent (value);
        }
    }

    // 添加节点
    public void add(Node node) {
        if (root == null) {// 若根节点为空，直接指向添加节点（因为他是第一个节点）
            root = node;
        } else {
            root.add (node);
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (root != null) {
            root.infixOrder ( );
        } else {
            System.out.println ("该二叉排序树为空，无法遍历");
        }
    }
}

// 创建节点
class Node {
    public int value;// id，或者标识
    public Node left;
    public Node right;

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    // avl 1:返回左子树高度
    public int leftHeight() {
        if (left == null) {
            return 0;
        }
        return left.height ( );
    }

    // avl 2:返回右子树高度
    public int rightHeight() {
        if (right == null) {
            return 0;
        }
        return right.height ( );
    }

    // avl 3:返回 以该节点为根节点的树的高度
    public int height() {
        return Math.max (left == null ? 0 : left.height ( ), right == null ? 0 : right.height ( )) + 1;
    }

    // avl 4: 左旋转方法 --- 这里的设置成，可以理解为指向
    private void leteRotate() {
        // 1、创建新节点，以当前根节点的值
        Node newNode = new Node (value);
        // 2、把新节点的左子树，设置成当前根节点的左子树
        newNode.left = left;
        // 3、把新节点的右子树，设置成当前根节点的右子树的左子树
        newNode.right = right.left;
        // 4、把当前根节点的值，设置成右子节点的值
        value = right.value;
        // 5、把当前根节点的右子树，设置成右子树的右子树
        right = right.right;
        // 6、把当前根节点的左子树，设置成新的节点
        left = newNode;
    }

    // avl 5: 右旋转方法 --- 根据坐旋转反向操作即可，懒得写注释了，改成填空吧~~
    private void rightRotate() {
        // 1、创建新节点，以当前根节点的值
        com.kk.datastructure.tree.availabletree.avl.Node newNode = new Node (value);
        // 2、
        newNode.right = right;
        // 3
        newNode.left = left.right;
        // 4
        value = left.value;
        // 5
        left = left.left;
        // 6
        right = newNode;
    }


    /**
     * 递归添加节点，注意：需要满足二叉排序树规则
     *
     * @param node
     */
    public void add(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }

        // 判断传入的节点和当前节点的值，大小关系
        if (node.value < this.value) {
            if (this.left == null) {
                this.left = node;
            } else {
                // 递归向左子树添加
                this.left.add (node);
            }
        } else {// 添加节点的值，大于等于当前节点的值
            if (this.right == null) {
                this.right = node;
            } else {
                // 递归向右子树添加
                this.right.add (node);
            }
        }

//        //-----------------------单旋转处理-----------------------------------------
//        // avl 6: 左旋处理：当添加完一个节点后，如果（右子树的高度 - 左子树的高度 ）> 1 ,那么左旋转
//        if (rightHeight ( ) - leftHeight ( ) > 1) {
//            leteRotate ();
//        }
//        // avl 7: 右旋处理：当添加完一个节点后，如果（左子树的高度 - 右子树的高度 ）> 1 ,那么右旋转
//        if (leftHeight ( ) - rightHeight ( )) {
//            rightRotate ();
//        }
//        //-----------------------单旋转处理-----------------------------------------

        //-----------------------双旋转处理-----------------------------------------
        // avl 8: 双旋转：左旋处理：在 avl 6 上进行扩展
        if (rightHeight ( ) - leftHeight ( ) > 1) {
            // 1、如果当前节点的右子树的左子树的高度，大于右子树的右子树的高度
            if (right != null && right.leftHeight ( ) > right.rightHeight ( )) {
                // 先对当前节点的右子树右旋转
                right.rightRotate ( );
                // 再对当前节点进行左旋转
                leteRotate ( );
            } else {
                // 2、否则直接左旋
                leteRotate ( );
            }
        }
        // avl 9: 双旋转：右旋处理：在 avl 7 上进行扩展
        if (leftHeight ( ) - rightHeight ( ) > 1) {
            // 1、如果当前节点的左子树的右子树的高度，大于左子树的左子树的高度
            if (left != null && left.rightHeight ( ) > left.leftHeight ( )) {
                // 先对当前节点的左子树左旋
                left.leteRotate ( );
                // 再对当前节点右旋
                rightRotate ( );
            } else {
                // 2、否则直接右旋
                rightRotate ( );
            }
        }

        //-----------------------双旋转处理-----------------------------------------
    }

    /**
     * 查找节点
     *
     * @param value 要被查找节点的值(可以理解为一个标识)
     * @return 如果找到返回该结点，否则返回null
     */
    public Node search(int value) {
        if (this.value == value) {
            return this;// 找到查找的节点
        } else if (value < this.value) {// 若要查找的值小于当前节点的值，则向左子树递归查找
            // 判空：若左子树节点为空
            if (this.left == null) {
                return null;
            }
            return this.left.search (value);
        } else {// 若查找的值不小于当前节点的值，则向右子树递归
            if (this.right == null) {
                return null;
            }
            return this.right.search (value);
        }
    }


    /**
     * 查找父节点，个人感觉父节点在属性上面指定会好些【空间换时间】
     *
     * @param value 要被查找节点的值(可以理解为一个标识)
     * @return 返回该值的父节点, 没有则返回null
     */
    public Node searchParent(int value) {
        // 若当前节点 就是要被删除节点的父节点，则返回
        if ((this.left != null && this.left.value == value) ||
                (this.right != null && this.right.value == value)) {
            return this;
        } else {
            // 若查找的值小于当前节点的值，并且当前节点的左子树不等于空
            if (value < this.value && this.left != null) {
                return this.left.searchParent (value);// 向左子树递归查找
            } else if (value >= this.value && this.right != null) {
                return this.right.searchParent (value);// 向右子树递归查找
            } else {
                return null;// 没有找到父节点
            }
        }
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node [value=" + value + "]";
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder ( );
        }
        System.out.println (this);
        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder ( );
        }
    }
}

仓库代码定位：

image.png