勒让德变换

2021-02-06 本文已影响0人 R_est

为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系 $f(x)$ ，改用一个新函数 $f^*(p)$ 来表示。其中， $p=\frac{df}{dx}$ ， $f^*(p)$ 为截距的负值， $f^*(p)=px-f(x)$ ，这样的变换称为勒让德变换。
分部积分与勒让德变换
$f(x)$ 和 $f^*(p)$ 为彼此的勒让德变换，则有 $p=\frac{df}{dx}$ 和 $x=\frac{df^*}{dp}$ ,
由分部积分可得， $d(px)=pdx+xdp=\frac{df}{dx}dx+\frac{df^*}{dp}dp=df+df^*$ ，
这意味着 $df^*=d(px)-df$ ，即 $f^*=px-f$
练习和理解

考虑几个函数，来理解勒让德变换：
1. $f(x)=C,(C为常数)$
失效？

2. $f(x)=Cx,(C为常数)$
失效？

$f(x)=x^2,(a为常数)$
$f^*(p)=px-x^2,p=2x$
$f^*(p)=\frac{1}{4}p^2$
在 $x_0$ 处的切线方程 $g(x)=2x_0 (x-x_0)+x_0 ^2$ ，截距为 $g(0)=-x0^2=-\frac{1}{4}(2x_0)^2=-f^*(2x_0)$

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