PCA(principal component analysis

1. 简介

PCA(Principal Components Analysis)即主成分分析，也称主分量分析或主成分回归分析法，是一种无监督的数据降维方法。首先利用线性变换，将数据变换到一个新的坐标系统中；然后再利用降维的思想，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上。这种降维的思想首先减少数据集的维数，同时还保持数据集的对方差贡献最大的特征，最终使数据直观呈现在二维坐标系。

R语言中可以进行PCA分析的主要有rda(){vegan}、prcomp(){stats}、princomp(){stats} 、PCA(){FactoMineR} 、dudi.pca() {ade4} 、epPCA() {ExPosition}；对于分析结果可视化，factoextra包封装了包括分析结果提取和基于ggplot2的数据可视化的函数。

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2. 目标

1. 找到数据中的隐藏模式

2. 通过减少数据中的噪声和冗余进行降维

3. 找到相关变量

3. 实战解析

1. 确认数据是否需要标准化，函数是否封装了标准化程序。
2. Supplementary variables and individuals：不用于判断主成分，在结果显示中，他们的坐标轴由参与主成分分析的参数预测得出。

PCA(X, ind.sup = NULL, quanti.sup = NULL, quali.sup = NULL, graph = TRUE)

X :数据集，每一行是一个样例，列代表观测值。
ind.sup : 指定Supplementary individuals所在的列
quanti.sup, quali.sup : 指定定性和定量观测值所在的列

3. PCA模型构建

decathlon2.active <- decathlon2[1:23, 1:10]
res.pca <- prcomp(decathlon2.active, scale.unit = TRUE)

4. 结果分析

1. 结合str()和summary()函数，可以找到PCA分析结果中的Proportion of Variance 和Cumulative Proportion，然后以dim编号为横坐标，前面的值为纵坐标，可以分别作崖低碎石图和累积贡献率图，直观的表示主成分贡献率和累积贡献率，用以作为选择主成分个数的参考。

2. 提取得分矩阵(一般是res.pca$x)做散点图。

3. 提取各变量在不同dim上的占比，做箭头图。（如：dim1 = 0.41, dim 2 = 0.11，那么就以（0,0）为起点，（0.41， 0.11）为终点做带箭头线段。在这里，箭头朝向没有特殊意义，箭头长度表示PC占比。）

4. 适当的时候可以加上多边形或者椭圆外框。、

5. 进阶：如果想知道PCA能解释的方差比例计算方式，则需要了解：

   • 特征向量：res.pca$rotation
   • 每个主成分得分的标准差：res.pca$sdev

# the standard deviations of the principal components
res.pca$sdev_cal  <- apply(pca$x, 2, sd)

# percent
round(res.pca$sdev^2/sum(res.pca$sdev^2), 3)

可以看到计算结果和summary结果时完全一致的。

factoextra包 - 提取并模式化PCA分析结果可视化

总的来说，fviz_可视化，get_结果提取。

1. get_eigenvalue：提取特征值，第1列是维度代号，第2列是特征值，第3列是可解释变异的比例，即该特征值能解释的观测值变化的比例。第4列是累计可解释变异的比例 ，数值由依次加上前面的可解释变异的比例得出。从向量空间的角度来看，因为不同特征值对应的特征向量线性无关，把每个特征向量看做是一个坐标轴，特征值是对应坐标轴（即特征向量）上的坐标值。简单来说，就是可以用特征值（坐标）与特征向量（坐标轴）来表示原矩阵。
   主成分的特征值可以帮助确定保留主成分个数，Kaiser-Harris准则建议保留特征值大于1的主成分；或者用p值校正进行选择。
   

   1.png

2. fviz_eig (or fviz_eigenvalue)：特征值可视化

variable(观测值)可视化

1. get_pca_var

• coord ：变量（观测值）的坐标，默认用corrplot 可视化，也可以调用提取数据后散点图或热图表示。

  
  Rplot01.jpeg

• cor：观测值(variables)和维度间的相关性，与传统的相关性分析结果不同。

• cos2：

  • 所有主成分上的cos2的和为1
  • 可用于估计质量，越高代表性越强。
  • 在PCA结果图上，箭头越靠近外面表示在factor map 上的代表性越好，也表示对解释该变组分越重要。

• contrib：contribution

# cor - 相关矩阵可视化
corrplot(var$cos2, is.corr=FALSE)
    
# cos2 - 柱状图
# choice - 选择变量"var" or "ind"
fviz_cos2(res.pca, choice = "var", axes = 1:2)
    
# contrib - 柱状图
# 注意axes的选择，这里表示各个variable 在第1、2维度上的贡献率。
# factoextra包会自动给一个期望的平均贡献率，用红色线表示。
# chioce 同上
fviz_contrib(res.pca, choice = "var", axes = 1:2, top = 10)

# 总体展示PCA-variable结果
# 变量向量（箭头）的排序坐标（顶点坐标）可以进行同比例缩放
fviz_pca_var(res.pca, col.var = "cos2",
    gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
    repel = TRUE # Avoid text overlapping
    )

• tips:

1. col.var - variable color：可以用来展示cos2，contrib等PCA分析中的结果，也可以先对数据进行聚类等外部处理，然后在PCA图上表现出来。分组变量用palette 指定颜色，连续变量用 gradient.cols。

2. 可以用dimdesc(){FactoMineR} 提取 dim 相关信息，提取各主成分坐标然后结合单个观测值坐标进行分析。

   
   1.jpg

来源：Sunagawa, S., Coelho, L. P., Chaffron, S., Kultima, J.R., Labadie, K., Salazar, G., … & Bork, P. (2015). Structure and function of theglobal ocean microbiome. Science, 348(6237), 1261359-1261359.
代码示例：

library("FactoMineR")
library("factoextra")
decathlon2.active <- decathlon2[1:23, 1:10]

res.pca <- PCA(decathlon2.active, scale.unit = TRUE, 
                      graph = FALSE)
summary(res.pca)
data <- dimdesc(res.pca)
plot_data<- data$call$X
ggplot(data = plot_data)+geom_point(aes(x = Dim.1, y = X400m))+
  geom_smooth(method = "lm",aes(x = Dim.1, y = X400m)) +
  geom_text(aes(x = 0, y = 47, label = "R-squared = 0.4922"))

individuals(个体，样品，等样例)可视化

• coord ：同上

• cos2：同上；col.ind - 用颜色指示值；pointsize - 用点大小指示值。

  
  Practical Guide to PCA.jpg

• contrib ：同上

  
  Rplot.jpeg

• fviz_pca_ind 的参数也是大同小异

  
  Practical Guide to PCA.jpg

其他参数

1. fviz_pca_var(ind)：可以用axis参数选择不同主成分维度

   
   `.jpeg

2. 调整是否要点标签

• geom.ind = "point", 只显示点
• geom.ind = "text" ，只显示标签
• geom.ind = c("point", "text")

3. 调整点、线和箭头

• labelsize:
• pointsize:
• arrowsize
• pointshape

4. addEllipses 添加椭圆，ellipse.type参数如下：

• "convex": 多边形区间

  
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• "confidence": 用coord.ellipse(){FactoMineR}绘制置信椭圆

• "t": assumes a multivariate t-distribution

• "norm": assumes a multivariate normal distribution.

• "euclid": draws a circle with the radius equal to level, representing the euclidean distance from the center. This ellipse probably won't appear circular unless coord_fixed() is applied.

  
  1.jpeg

5. mean.point ： 当参数group.var/ind存在时，控制是否添加各组均值点(barycenters，重心）- 默认添加。
6. select.ind, select.var： 对作图数据进行筛选。
7. Axis lines：axes.linetype
8. 其他图形参数继承自ggplot2

Biplot

将 individuals and variables同一张图片上展示

主成分分析包检索

定量数据

psych包

ropls: PCA, PLS(-DA) and OPLS(-DA) for multivariate analysis and feature selection of omics data

rda(){vegan}：PCA分析或冗余度分析

prcomp(){stats}

princomp(){stats}

PCA(){FactoMineR}

dudi.pca() {ade4}

epPCA() {ExPosition}

定性数据

Correspondence Analysis (CA)：两组定性、分类数据

cca(){vegan}

CA()[FactoMineR]

ca() [ca]

dudi.coa() [ade4]

corresp() [MASS]

and epCA() [ExPosition]

Multiple Correspondence Analysis (MCA)：多组数据

MCA() [FactoMineR]

dudi.acm[ade4]

epMCA() [ExPosition]

混合型数据

Factor Analysis of Mixed Data (FAMD)

遇到定量数据就类似PCA分析功能，遇到定性数据就类似CA分析。

PCAmix()[ PCAmixdata]

Multiple Factor Analysis (MFA)：混合、分组数据

mfa ()[ade4]

MFAmix()[ PCAmixdata]

结果分析

分析结果探索和可视化：ggplot2，plot，factoextra，vegan

HCPC (Hierarchical Clustering on Principal Component)：对结果进行层次聚类

HCPC() [FactoMineR]

tips: 生物狗先学vegan，神包！！

参考资料： Practical Guide to Principal Component Methods in R