有理数及其运算

每一种数，都会从三个方面去了解。那么在这里，我们可以分成诞生、比大小和运算。

升入初中以后，我们会进一步的学到一些在小学，我们没有接触过的数，比如我们以前接触的都是非负数，也就是0和正数。

很多时候在生活中，我们会遇到一些问题。比如当你有了10块钱。但是你现在又欠了别人20块钱。那么这样的数用正数就无法表示。也就是说，正数“不够用”了。那么，这时候，数学家们就发明了负数，有了负数之后，自然也就有了，后面像相反数，绝对值的这些概念。

有理数脑图

诞生

想要了解一个数，我们先要从诞生开始，比如这个书为什么会被数学家发明出来？

负数

在小学的时候，我们学习了整数和分数。也简单地了解的负数，但是升到初中后，我们会进一步的去学习。在生活中会有很多问题会关联到一些负数。例如，在一个地区的温度可能是在零一下怎么这样如何表示呢？所以，慢慢的，科学家们发明了负数。

数轴

比如在这张图上。我们可以将零看成正数和负数的分界，零左边的是负数，右边的是正数二零纪不是正数也不是负数。

有理数的分类

分类原则：确定分类对象，分类标准，做到不重不漏。

分类

按照有理数的定义分，可以将有理数分成整数和分数。再往下分可以将整数分成正整数零，还有负整数。分数可以分为正分数和负分数。

按照有理数的性质分可以分成正有理数、0、和负有理数，将正有理数分为正整数和正分数。将富有理数再分成负整数和负分数。也就是，整体把有理数分成非负有理数，和非正有理数，和0。

（在这些数中小数，可以归到分数里小数，包括有限，小数和无限循环小数。而无限不循环小数不属于有理数）

比大小

所有的数都可以比大小，而比大小，也是我们要了解一个数的一部分，所以要了解有理数，我们也要去了解有理数，如何去比大小。

绝对值（相反数）

相反数

相反数，绝对值。这些概念其实都是因为我们初中后，学习了负数，并且人们发现有一些成对的概念。才会有这样的定义。当人们发现了像4和-4这些符号相反的数。就给他们取名叫做，相反数。这一类具有相反，意义的数在数轴上，我们可以将它理解为照镜子。请问相反数的定义是只有符号不同的两个数就互称相反数。几何定义就是在数轴上距离零点的位置相同。

在我们初中之后，接触了负数，了解了负数之后。我们可以在数轴上发现一些相对的概念。比如有些数除了符号不同，他们都一样。也就是说他们的数字部分一样，只不过是符号不一样而已。

还有就是他们和原点零还有一定的关系，虽然说在0的两侧。但是可以发现，如果改变了他们其中一个的符号，可以发现他们是相等的。数轴上每个数都有这样的一对。那么这样的可以给他起个什么名字呢？—相反数

相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么我们可以称其中的一个数为另一个数的相反数。也就是这两个数互为，相反数（0的相反数是0）。

相反数是一对相对的概念。是两个相互的，不能单独。

相反数的几何意义：在数轴上表示互为相反，数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

-3和3互为相反数

比如在这张图上，我们可以看到b点和c点的位置分别表示-3和3。他们位于零的两边，但是，到0的距离相同。这样的两个相对的数就互称为相反数。

绝对值

当人们发明了，相反数之后。又延伸出来了一个概念—绝对值。

在有理数中，每个数都可以和0有关系，比如他们的距离等等。每个有理数到0的距离就叫做绝对值，而零到零的距离是零。所以它的绝对值就是它本身。

概念：在数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。0的绝对值是0。

性质：

1.正数的绝对值是它本身。  a>0，｜a｜=a

2.负数的绝对值是他的相反数。  a<0，｜a｜=a

3.0的绝对值是0，a=0，｜a｜=0

绝对值的非负性：因为绝对值是表示一个数到原点的距离，所以距离不能为负数，那么绝对值，就一定不是负数。

数轴

在小学的时候，不管我们学习到什么数。基本上都会和数有联系。那么从现在开始，我们要准确的去学习数轴。去学习，有理数和数轴。

如果想要画一个数轴，首先我们要确定三点，原点、正方向、单位长度。这三者也就称为数轴三要素。

首先要有原点零，还有正方向。在上面这个数轴中，我们可以看出来正方向是向右的（通常都会向右）所以要画出箭头。两端也要向两边延伸。也就是说，我们可以把数轴看成一个直线。画出的部分综合两边不要有点，以免画成射线或者线段。

所有有理数都可以，用数轴上的点来表示，但是数轴上的点表示的数并不都是有理数。通常，表示，正有理数的点在原点零的右边。表示，复数的有理数的点在原点零的左边。

在数轴上比大小

在数轴上比大小，就是可以先以零为基准。零左边是负数零的右边是正数。数轴上的数越往右边的越大，越往左边的越小。复数比大小时两个负数绝对值大的数反而小。

运算

本篇文章的题目是有理数及其运算，所以说，运算对有理数来说相当重要。诞生、比大小、和运算本应是平等的，但为什么书上写的是有理数及其运算呢？为什么要把运算提出来呢？其实有理数的运算，是我们最重视的，最重要的。所以才会叫做有理数及其运算。

有理数的加减法

说到运算的分类。可能很多人会把运算分成加法、减法、乘法、和除法。但是在有理数中，其实加减可以分为一类。乘除也可以分为一类。因为他们之间的是互通的。他们的本质是一样的。

因为加一个负数，就相当于减去一个正数。加一个正数就相当于减去一个负数。

有理数的加法法则：

相同的两个符号的两数相加，去相同的符号，绝对值相加。

符号不相等的两数相加，取绝对值较大的数，减去绝对值小的数。符号取决于绝对值大的数的符号。

互为相反数的两个数相加得零。一个数与零相加还得了这个数。

有理数的加法运算定律：

加法交换律：两个数相加时交换加数的位置和不变。例如a+b=b+a

加法结合律：三个数相加时可以把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变。例如（a+b）+c=a+（b+c）

但我们遇到减法的时候也可以像加法这样去运算。就像刚刚说的一样转换一下就可以了。

有理数的乘除法

乘除法之间也是互通的。这个我们的小学时候也学过。除一个数就相当于乘它的倒数（倒数：成绩是一的两个数互为倒数，零没有倒数。求一个数的倒数就是将分子和分母颠倒一下位置。带分数要先将它化成假分数。正数的倒数是正数负数的，倒数是负数。

两数相成的时候相同的符号，积得正，不同的两个符号相乘的时候。积德负，并把绝对值相乘。

运算定律：

交换律，ab=ba；结合律：（ab）c=a（bc）；分配律：a（b+c）=ab+c

有理数的乘方

乘方是如何诞生的？其实他和乘法有很大的关系。而乘方就正是因为乘法而发明出来的。当一个很长一串的乘法算式。我们怎样可以将它写得更简洁呢？像有一种乘法就可以写成乘方。比如3*3*3*3=3^4。

乘方相比起四则运算起来，是一个很神奇的东西。比如2+3=5，2*3=6，而2^3=8，乘方相比起四则运算起来会很大。

求N个相同因数A的计算运算叫做长方体。成方的结果叫做幂。

一个数可以看作是本身的一次方，比如五就等于5的一次方，但是在平时就可以省略不写。

岗顶数是负数或者分数的时候，需要用括号将底数括上。在右上角写上质数。

乘方的运算性质：

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；任何数的偶次幂都是非负数；记得任何次幂都得一；0的任何次幂都得0；-1的偶次幂得1，奇次幂得-1。

混合运算的时候先算乘方，再乘除，最后加和减，(的话先算括号里的）。

科学计数法

刚才我们说到了乘方，那么科学技术法其实就是根据乘方发明出来的。这其实也是为了更简洁。比如在乘方里，有些数的底数可能会比较大，比如后面有好几个0的。为了将它们表示的，更简洁看着更方便。所以数学家们就发明了科学技术法。

如果一个数很大。他后面有很多0的话，我们可以用乘方来表示。100=10*10=10的二次方。10个几次方就是在1后面加几个零。

而如果最大的那一位数不是1，我可以将它转换成一个乘法。比如380000000=38*10的七次方。但是，不好比较大小。所以呢，数学家们就规定了要这样写：380000000=3.8*10的八次方。

以上就是有理数及其运算这一章的内容。