波动方程初值问题

2020-05-15 本文已影响0人洛玖言

叠加原理

若 $u_1$ 是
$u_{tt}-a^2u_{xx}=f_1$
的解，而 $u_2$ 是
$u_{tt}-a^2u_{xx}=f_2$
的解，则 $u=C_1u_1+C_2u_2$ 是
$u_{tt}-a^2u_{xx}=C_2f_1+C_2f_2$
的解.

初值问题

$\begin{aligned} \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)\quad(t>0,\;-\infty<x<+\infty)\\ t=0:u=\varphi(x),u_{t}(x,0)=\psi(x)\quad(-\infty<x<+\infty) \end{cases} \end{aligned}$
由于其丁姐条件只有初始条件，故通常称为初值问题，(也成为柯西(Cauchy)问题)
若既有初始条件，又有边界条件，称为初边值问题
，或混合问题.

达朗贝尔公式

初值问题
$\begin{aligned} \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=0\\ t=0: u=\varphi(x),\;u_{t}(x,0)=\psi(x) \end{cases} \end{aligned}$

的解
$u(x,t)=\dfrac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2}+\dfrac{1}{2a}\int_{x-at}^{a+at}\psi(\alpha)\text{d}\alpha$

齐次化原理

$\begin{aligned} \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)\\ t=0: u=0,\;u_{t}(x,0)=0 \end{cases} \end{aligned}$
的解
$\begin{aligned} u(x,t) =&\dfrac{1}{2a}\int_0^{t}\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\xi,\tau)\text{d}\xi\text{d}\tau\\ =&\dfrac{1}{2a}\underset{G}{\iint}f(\xi,\tau)\text{d}\xi\text{d}\tau \end{aligned}$
其中区域 $G$ 为 $(\xi,\tau)$ 平面上过点 $(x,t)$ 向下做两特征线与 $\xi$ 轴所夹得三角形区域.

初值问题
$\begin{aligned} \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)\\ t=0: u=\varphi(x),\;u_{t}(x,0)=\psi(x) \end{cases} \end{aligned}$
由叠加原理可分为
$\begin{aligned} \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=0\\ t=0: u=\varphi(x),\;u_{t}(x,0)=\psi(x) \end{cases} \quad \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)\\ t=0: u=0,\;u_{t}(x,0)=0 \end{cases} \end{aligned}$
由达朗贝尔公式可得 $u_1$ 和 $u_2$ 知原初值问题的解为 $u=u_1+u_2$

波动方程初值问题

叠加原理

初值问题

达朗贝尔公式

齐次化原理

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