第二章有限维向量空间

2019-10-23 本文已影响0人熊文鑫

title: 第二章有限维向量空间
category: 知识点
date: 2019/08/01
mathjax: true

现行代数关注的是有限维向量空间。
重要概念：张成，线性无关，基和维数。

向量： $(v_1,···,v_m)$
向量的线性组合: $a_1v_1+···+a_mv_m$
向量的张成：所有线性组合的集合
$span(v_1,···,v_m)=\{a_1v_1+···+a_mv_m:a_1,···,a_m\in F\}$

V中任意一组向量的张成都是V的子空间。

例如(0,2,0) a属于N 的张成，一定是(0,2n,0)。也属于V的子空间，而且是包含这组向量的最小子空间。

如果一组向量张成为空间。例如(1,1,1)可以张成为 $R^3$ 空间，则称 $(v_1,···,V_m)$ 张成(span)V。如果空间是由一组向量张成，则称这个向量空间是有限维的。

多项式的次数

定义：对于多项式 $p\in P(F)$ ,如果存在标量 $a_0.a_1.···，a_m\in F,a_m\not=0,$
使得 $p(z)=a_0+a_1z+···+a_mz^z,z\in F$ 。就说p的次数为m,并且规定恒等于0的多项式的次数为 $-\infty$

理解：其实多项式的次数取决于最高次。

线性相关性引理

如果 $(v_1,···，v_m)$ 在V中是线性相关的，并且 $v_1\not=0$ ,则有 $j\in{2,···，m}$ 使得下列成立:
(a) $v_j\in span(v_1,···，v_{j-1})$
(b)如果从(v_1,···,v_m)中去掉第j项，则剩余组的张成等于 $span(V_1,··，v_m)$

判定维度是否为有限的定理

在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于或者等于张成向量组的长度.

有限维向量空间的子空间都是有限维的。

基

定义：若V中一个向量组既是线性无关又张成V，则称之为V的基。

命题1：

V中向量组 $(v_1,···,v_n)$ 是V的基当且仅当每个 $v\in V$ 都能唯一地写成如下形式： $v=a_1v_1+···+a_nv_n$ ,其中 $a_1,··,a_n\in F$

定理1：在向量空间中，每个张成组都可以简化为一个基。

推论1：每个有限维向量空间都有基。

定理2：在有限维度向量空间中，每个线性无关向量组都可以扩充成一个基。

命题2：设V是有限维的，U是V的一个子空间，则存在V的一个子空间W使得 $V=U\oplus W$

维数

定理1：有限维向量空间的任意两个基的长度都相同。

维数：有限维向量空间的任意基的长度称为这个向量空间的维数。
V的维数记为 $dimV$

例如： $dimF^n=n$ , $dimPm(F)=m+1$

命题1：若V是有限维的，并且U是V的子空间，则 $dimU\le dimV$
命题2：若V是有限维的，则V中每个长度为dimV的张成向量组都是V的一个基。

命题3：如果V是有限维的，则V中每个长度为dimV的线性无关向量组都是V的基。

定理2：如果 $U_1$ 和 $U_2$ 是同一个有限维向量空间的两个子空间，那么：

$dim(U_1+U_2)=dimU_1+dimU_2-dim(U1\cap U_2)$

命题4：设V是有限维的，并且 $U_1,···，U_m$ 是V的子空间，使得 $V=U_1+···+U_m$ 并且 $dimV=dimU_1+···+dimU_m$
则 $V=U_1\oplus ···\oplus U_m$

第二章有限维向量空间

多项式的次数

线性相关性引理

判定维度是否为有限的定理

有限维向量空间的子空间都是有限维的。

基

维数

猜你喜欢

热点阅读

第二章 有限维向量空间

多项式的次数

线性相关性引理

判定维度是否为有限的定理

有限维向量空间的子空间都是有限维的。

基

维数

猜你喜欢

热点阅读

第二章有限维向量空间