高考数列客观题：2022年新高考数学全国卷题4

2022-06-28 本文已影响0人易水樵

正项等比数列 $\lbrace a_n \rbrace$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ , 若 $a_3=\dfrac{a_4}{a_2}$ ， $S_3=7$ , 则 $a_5=$

$A.8 \quad B.16\quad C.27\quad D.81$

【解法一】

$a_3=\dfrac{a_4}{a_2} \Rightarrow a_1q^2 = \dfrac{a_1q^3}{a_1q} = q^2 \Rightarrow a_1=1$

$S_3=7 \Rightarrow a_1+a_2+a_3=7$

$\Rightarrow a_2+a_3=7-a_1=6$

$a_1q + a_1 q^2=6$

$q^2+q-6=0$

$(q+3)(q-2)=0$

又 ∵ $\lbrace a_n \rbrace$ 是正项等比数列，∴ $a=2$ ,

$a_5=a_1q^4=16$

【解法二】

关于首项 $a_1$ 的分析与解法一相同；

应用等比数列的求和公式可得：

$\dfrac{a_1(q^3-1)}{q-1}=7$

∵ $q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$ , $a_1=1$ ,

∴ $q^2+q-6=0$

以下同解法一.

【提炼与提高】

按照惯例，编号5以内的是入门级考题，或称为 “送分题”。

当然了，送分题也不是完全没有技术含量。以本题而言，在解法二中用到了如下公式：

$q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$

估计一部分考生会因为不熟悉这一公式，对着一个三次方程发愁。

解法一则不使用等比数列的求和公式，「从定义出发」，轻松自如地解决问题。困难在于，经过长期的刷题训练，多数考生已经忘记了「从定义出发」这条路，在第一时间走上解法二的路线，然后，不熟悉立方差公式的人就犯难了。

目前，网络上经常有人推销自己整理的《高中数学公式大全》。这种做法容易给学生造成误导，以为多背一些公式，解题水平就会提高。以本题而言，解法一优于解法二，但解法一用到的公式更少。希望这种对比能够带给大家一些启发。