【圆锥曲线】抛物线

2022-03-11 本文已影响0人如雨随行2020

一、定义与方程

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$定义:到定点F(\frac{p}{2},0)和直线x=-\frac{p}{2}距离相等的运动轨迹，F点被称为焦点，直线被称为准线$

$方程：y^2=2px$

二、切线方程

$已知抛物线方程：y^2=2px以及曲线上一点P(x_0, y_0)，求过P点的切线方程$

$解：方程两边对x求导：2yy^{'}=2p，设切线上动点M(x,y)$

$则y'|_{x_0}=k_{MP}=\frac{y-y_0}{x-x_0}$

$带入上式得：y_0\frac{y-y_0}{x-x_0}=p$

$整理得y_0y=p(x+x_0)，即为切线方程$

三、光学性质

抛物线光学性质：从焦点发出的光学经过反射后，平行与焦点到准线的垂线

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问题 : $已知抛物线：y^2=2px的焦点B(\frac{p}{2},0)，A为抛物线上任意一点(x_0,y_0),AG为AB关于过A点切线DF的反射线，即\angle{BAD}=\angle{FAG}\\求证:AG // DB$

证明： $过A点的切线DF方程为：y_0y=p(x+x_0)，令y=0，得到D点坐标(-x_0,0),\\又\because B(\frac{p}{2},0),\therefore DB=x_0+\frac{p}{2} \\而根据抛物线性质，AB等于A到x=-\frac{p}{2}的距离，即AB=x_0+\frac{p}{2}=DB\\\therefore \triangle ABD为等腰三角形，即\angle BDA =\angle BAD=\angle{FAG}\\\therefore AG//DB$

【圆锥曲线】抛物线

一、定义与方程

二、切线方程

三、光学性质

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