http://blog.csdn.net/u011239443/article/details/77435463

Adaptive Boosted Decision Tree

关于AdaBoost、提升树可先参阅：http://blog.csdn.net/u011239443/article/details/77294201
这里仅对其做一定的补充。
对提升决策树桩的模型中，我们对树的节点进行分隔时，需要该节点中的各个数据的权重来计算总错误：

weightedError = D.T * errArr

树根比较好算，数据都是全量的数据，但是如果是非根的叶节点呢？这就是困难了。于是，我们就想到了变动数据集方法：

比如说，某条数据的权重是0.1，我们就似的样本抽取到它的概率变为0.1。

AdaBoost优化背后的意义

$u_n{t+1}$为第n个数据，t+1轮优化的权重

我们把上述橙色部分叫做voting score

我们回过头来看模型，并套用SVM的形式：

套用SVM，我们可知我们需要对模型的优化是：

于是，我们得到了AdaBoost的损失函数：

使用梯度下降的方法，调整最后g（也就是h），来最小化误差：

使用泰勒展开：

使得损失函数等价为：

于是，我们只需最小化：

得到：

我们可以看到，我们选择的h是要使得其预测率最小则结果最优。这就把问题转移到了函数h的最优化的问题了，这就变成了我们非常熟悉的问题，比如 如果是 AdaBoost Decision Tree，那就用决策树回归最优化h就行了。

然后我们来调整 η，设$g_t$就是我们的最优化h，那么最优化问题变成了：

我们对其求导，最优化得到：

对，没有错！AdaBoost中的 α 的含义其实就是在最优化g函数梯度下的最优化的步长！

Gradient Boosting

我们上节套用SVM来得出Adaboost的损失函数：

但其实我们可以用其他误差来得出损失函数，这就是叫做Gradient Boosting，通常使用差方来得到：

对上式进行关于S在$S_n$上泰勒展开：

即上式中 x = s ， $x_0 = Sn$得到了：

由于我们想让η来调节步长，而h函数只是决定方向，所以需要让$h(x)$为负数，但是绝对值又要尽可能的小，于是优化问题变成了：

可以看出我们的h其实是最优化回归：

也就是说，h是想把输入特征，回归拟合输出为实际值和上一轮模型预测值差值。

同样的，假设我们已经找到最佳的回归函数g，接下来调整η：

可以看到，这也是一个简单的一元回归：

总结GBDT模型如下：

总结集成模型

bagging 和 boosting 加上 决策树 可以分别得到：

为什么集成方法效果好？因为它有很多不同的模型表示，所以表达能力非常好，避免的欠拟合；而又是因为有很多模型混合，所以避免的某些模型的过拟合。

这里写图片描述