矩阵概念记录

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1、行数和列数相同的矩阵称为方阵

2、方阵的对角线元素就是方阵的行号和列号相同的元素。例如3*3矩阵M的对角线元素为M₁₁、M₂₂、M₃₃,其他元素都是非对角元素。

3、单位矩阵

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4、矩阵相乘

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注意事项：

• 假定矩阵的乘积有意义，任意矩阵M乘以方阵S, 不管从那边乘，都得到与原矩阵大小相同的矩阵。如果S是单位矩阵，结果就是矩阵M，即：MS = SM = M。
• 矩阵的乘法不满足交换律, 即：AB != BA。
• 矩阵满足结合率， 即A(BC) = (AB)C。
• 矩阵乘法也满足与标量或向量的结合律， 即: k(AB) = A(kB) = (kA)B。
• 矩阵的转置， (AB)T = AᵀBᵀ。

5、向量与矩阵的乘法

• 乘法和矩阵的乘法保持一致，具有意义即可。
• 行向量左乘矩阵时，结果是行向量。
• 列向量右乘矩阵时，结构是列向量。

6、行向量和列向量的使用场景

行向量 :

• 在文字中，使用行向量的形式更好书写。
• 用矩阵乘法实现坐标系转化时，向量左乘矩阵的形式更加方便。
• Directx使用的是行向量。

列向量 ：

• 等式中使用列向量形式上更好。
• 线性代数的书中使用列向量。
• 多本计算机图形学中都是使用的列向量。
• OpenGL使用的是列向量。

7、矩阵的几何意义

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总结 :

• 方阵的行能被解释为坐标系的基向量。
• 为了将向量从原坐标变换到新坐标，用它乘以一个矩阵。
• 从原坐标系到这些基向 定义的新坐标系的变化是 种线性变换。线性变换保持直线和平 线。但 度、 度 积或体积可能会改变。（ 旋转 、缩放、 投影 、 镜像、 仿射）
• 零向 乘以任何矩阵仍然得到零向 。因此， 阵所代表的线性变换的原点和原坐标系原点 致。变换 包含 原点。

旋转

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缩放

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