过点找曲线方程----牛顿插值多项式

问题

给定平面上X坐标互不相等的四个点A(1,1) 、B(3,3)、C(4,1)、D(5,5),如何找到一个三次函数通过这四个点?

利用行列式求解

令 f(x) = ax³ + bx² + cx + d
可以将四个点带入得到方程组

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计算行列式
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最后得出方程 f(x) = x³ -9x² + 24x -15

牛顿插值法求解

牛顿插值原理
因为过4个点，可以找到一条3阶方程

设方程为P(x) = a₀ + a₁(x-x₁) + a₂(x - x₁)(x - x₂) + a₃(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)
将x₁ = 1带入，得到 a₀ =1
将x₂ = 3带入，得到 a₀ +a₁(3-1) = 3
1 +a₁(3-1) = 3
a₁ =1
将x₃ = 4带入，得到a₀ + a₁(4 - 1) + a₂(4 - 1)(4-3) = 1
a₂ =-1

将x₄ = 5带入，得到a₀ + a₁(5 - 1) + a₂(5 - 1)(5-3) +
a₃(5 - 1)(5-3) (5-4) = 5

a₃ =1

P(x) = 1+ (x-1) -(x - 1)(x +1) + (x - 1)(x - 3)(x - 4)