平衡二叉树

平衡二叉树是一种二叉排序树的优化,其中每一个结点的左子树和右子树的高度差至多等于1.

就是在构建二叉排序树的过程中,每当插入一个结点时,先检查是否因插入二破坏了树的平衡性.若是,则找到最小的不平衡子树,在保持二叉排序树特性的前提下,调整最小不平衡子树中各个结点间的链接关系.进行相应的旋转,使之成为新的平衡子树.

右旋 平衡因子>0 或者 平衡因子已号需要平衡

右旋

1.P作为右旋的根结点
2.L的右子树,成为P的左子树
3.P成为L的右子树
4.L替换了P,成为二叉排序树新的根结点

/*
 对以p为根的二叉排序树作右旋处理;
 处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的左子树的根结点;
 */
void R_Rotate(BiTree *p){
    BiTree L;
    //① L是p的左子树;
     L = (*p)->lchild;
    //② L的右子树作为p的左子树
    (*p)->lchild =  L->rchild;
    //③ 将p作为L的右子树
     L->rchild = (*p);
    //④ 将L替换原有p的根结点位置
    *p =  L;
    
}

左旋 平衡因子<0

左旋

1.P作为左旋的根结点
2.R的左子树,成为了P的右子树
3.P成为了R的右子树
4.R替换了P,成为二叉排序树新的根结点

/*
 对以P为根的二叉排序树作左旋处理
 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点
 */

void L_Rotate(BiTree *p){
    BiTree R;
    //① R是p的右子树
    R = (*p)->rchild;
    //② R的左子树作为R的右子树
    (*p)->rchild = R->lchild;
    //③ 将p作为R的左子树;
    R->lchild = (*p);
    //④ 将R替换原有p的根结点的位置
    *p = R;
}

左平衡树失衡处理

插入N前的平衡二叉树
插入N后左子树失衡

对指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理,算法结束,指针T指向平衡处理后新的根结点

#define LH +1 /*  左高 */
#define EH 0  /*  等高 */
#define RH -1 /*  右高 */
void LeftBalance(BiTree *T) {
    BiTree L,Lr;
    
    //1.L指向T的左子树根结点
    L=(*T)->lchild;
    
    //2.检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理
    switch(L->bf) {
        //① 新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理(如图1-平衡二叉树右旋解释图)
        case LH:
            //L的平衡因子为LH,即为1时,表示它与根结点BF符合相同,则将它们(T,L)的BF值都改为EH(0)
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            //对最小不平衡子树T进行右旋;
            R_Rotate(T);
            break;
            
        //② LH的平衡因子为RH(-1)时,它与跟结点的BF值符合相反.此时需要做双旋处理(2次旋转处理)
        //   新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作 双旋处理
        case RH:
            
            //Lr指向T的左孩子的右子树根
            Lr=L->rchild;
            
            //修改T及其左孩子的平衡因子
            switch(Lr->bf) {
            
                case LH:
                    (*T)->bf=RH;
                    L->bf=EH;
                    break;
                    
                case EH:
                    (*T)->bf=L->bf=EH;
                    break;
                    
                case RH:
                    (*T)->bf=EH;
                    L->bf=LH;
                    break;
             }
            Lr->bf=EH;
            //对T的左子树作左旋平衡处理
            L_Rotate(&(*T)->lchild);
            //对T作右旋平衡处理
            R_Rotate(T);
    }
}

右平衡树失衡处理

/*
 右平衡树失衡处理
 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理
 本算法结束时，指针T指向新的根结点
 */
void RightBalance(BiTree *T) {
    BiTree R,Rl;
    //1.R指向T的右子树根结点
    R=(*T)->rchild;
    
    //2. 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理
    switch(R->bf) {
        //① 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理
        case RH:
            (*T)->bf=R->bf=EH;
            L_Rotate(T);
            break;
        //新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理
        case LH:
            //Rl指向T的右孩子的左子树根
            Rl=R->lchild;
           
            //修改T及其右孩子的平衡因子
            switch(Rl->bf)
                {
                    case RH:
                        (*T)->bf=LH;
                        R->bf=EH;
                        break;
                    case EH:
                        (*T)->bf=R->bf=EH;
                        break;
                    case LH:
                        (*T)->bf=EH;
                        R->bf=RH;
                        break;
                }
            
            Rl->bf=EH;
            //对T的右子树作右旋平衡处理
            R_Rotate(&(*T)->rchild);
            //对T作左旋平衡处理
            L_Rotate(T);
    }
}

平衡二叉树的插入实现

若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否

思路:

1.如果T为空时,则创建一个新结点;

2.如果T不为空,判断是否存在相同的结点.如果二叉树中存在相同结点,则不需要插入;

3.如果新结点值e小于T的根结点值,则在T的左子树查找;

• 如果能在左子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
• 插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
• 如果平衡因子是1,则说明左子树高于右子树,那么需要调用leftBalance进行左平衡旋转处理;
• 如果为0或者-1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;

4.如果新结点值e大于T的根结点值,则在T的右子树查找;

• 如果能在右子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
• 插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
• 如果平衡因子是-1,则说明右子树高于左子树,那么需要调用RightBalance进行右平衡旋转处理;
• 如果为0或者1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可

代码实现

Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller) {
    if(!*T) {
        //1.插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE
        //① 开辟一个新结点T;
        *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //② 对新结点T的data赋值,并且让其左右孩子指向为空,T的BF值为EH;
        (*T)->data=e;
        (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL;
        (*T)->bf=EH;
        //③ 新结点默认"长高"
        *taller=TRUE;
    } else {
        if (e==(*T)->data) {
            //2.树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入
            *taller=FALSE;
            return FALSE;
        }
        if (e<(*T)->data) {
           //3.应继续在T的左子树中进行搜索
            if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
                //未插入
                return FALSE;
            
            //4.已插入到T的左子树中且左子树“长高”
            if(*taller)
                //5.检查T的平衡度
                switch((*T)->bf) {
                case LH:
                    //原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理
                    LeftBalance(T);
                    *taller=FALSE;
                    break;
                case EH:
                    //原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高
                    (*T)->bf=LH;
                    *taller=TRUE;
                    break;
                case RH:
                    //原本右子树比左子树高，现左、右子树等高
                    (*T)->bf=EH;
                    *taller=FALSE;
                    break;
            }
        } else { //6.应继续在T的右子树中进行搜索
            //未插入
            if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
                return FALSE;
            //已插入到T的右子树且右子树“长高”
            if(*taller)
                // 检查T的平衡度
                switch((*T)->bf) {
                //原本左子树比右子树高，现左、右子树等高
                case LH:
                    (*T)->bf=EH;
                    *taller=FALSE;
                    break;
                //原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高
                case EH:
                    (*T)->bf=RH;
                    *taller=TRUE;
                    break;
                // 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理
                case RH:
                    RightBalance(T);
                    *taller=FALSE;
                    break;
            }
        }
    }
    return TRUE;
}

查找

Status SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f, BiTree *p){
    
    if (!T)    /*  查找不成功 */
    {
        *p = f;
        return FALSE;
    }
    else if (key==T->data) /*  查找成功 */
    {
        *p = T;
        return TRUE;
    }
    else if (key<T->data)
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子树中继续查找 */
    else
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子树中继续查找 */
}