数学变换(1) 勒让德变换

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数学变换

在物理学中，经常使用数学变换来重新编码信息，如勒让德变换/傅里叶变换/拉普拉斯变换等。这些变换为人们提供了认识世界的新视角，为各类物理问题的处理提供了便利。
本系列将分别介绍上述三种数学变换。本节将介绍勒让德变换(Legendre Transform).

勒让德变换的引入

对于给定的函数 $F(x)$ ，如果满足以下两个条件则可以通过勒让德变换提供更好的信息表达：(a) 函数严格为凸（即其二阶导为正）且足够光滑；(b) 其一阶导数 $dF/dx$ 能更直观地表达物理概念或更易于测量/控制。

Fig. 1. Legendre Transform [1]

用 $s(x)$ 表示其一阶导数：
$s(x) \equiv \frac{dF(x)}{dx} \tag{1}$
构造一个新的函数 $G(s)$ ，使得
$\frac{dG(s)}{ds}=x(s) \tag{2}$
则满足：
$sx = G(s) + F(x) \tag{3}$
$F(x)$ 和 $G(s)$ 构成一组勒让德变换对。
图1提供了(3)式的几何解释。 $G(s)$ 表示了 $F(x)$ 在 $x$ 处的切线与y轴的负截距。
需要注意以下几点：

(3)式中的x和s是通过(1)式和(2)式相互联系的，两者只有1个是独立的，实际上(3)式可以拆成两个式子：
$sx(s) = G(s) + F(x(s)) \tag{4}$
$s(x)x = G(s(x)) + F(x) \tag{3}$
即分别在x表象和s表象下成立。
2）勒让德变换对存在对称性。若 $F(x)$ 为凸，则其勒让德变换 $G(s)$ 也为凸。
3）极值点的性质。

参考文献

[1] Zia, R. K., Redish, E. F., & McKay, S. R. (2009). Making sense of the Legendre transform. American Journal of Physics, 77(7), 614-622.

数学变换(1) 勒让德变换

数学变换

勒让德变换的引入

参考文献

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