怎么解分段函数中的最值问题？

2020-07-09 本文已影响0人天马无空

分段函数中的最值问题

解题步骤：

第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；

第二步根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；

第三步满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；

第四步得出结论.

【例1 】设函数 $g(x)=x^2-2(x \in \mathbb{R})$ ， $f(x)=\begin{cases}g(x)+x+4,&x<g(x) \\g(x)-x,&x \geqslant g(x)\end{cases}$ ，则 $f(x)$ 的值域是（）

A． $[0,+\infty)$ B． $\left[-\dfrac{9}{4},+\infty\right)$

C． $\left[-\dfrac{9}{4},0\right] \cup (1,+\infty)$ D． $\left[-\dfrac{9}{4},0\right] \cup (2,+\infty)$

【解析】

由题意，可知 $f(x)=\begin{cases}x^2+x+2,&x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty) \\x^2-x-2,&x \in [1,2]\end{cases}$ ，

因此问题就等价于求二次函数在给定区间上的取值范围，

$\therefore$ 若 $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$ ，则 $f(x)\in (2,+\infty)$ ，

若 $x \in [1,2]$ ， $f(x)\in \left[-\dfrac{9}{4},0\right]$ ，

$\therefore f(x)$ 的值域为 $\left[-\dfrac{9}{4},0\right] \cup (1,+\infty)$ .

【点评】本题考查了分段函数的最值问题，渗透着分类讨论的思想，考查学生全面思考问题的能力，其解题的关键是"分段函数，分段处理".

【例2】 $f(x)=\begin{cases}(x-a)^2,&x \leqslant0 \\x+\dfrac{1}{x}+a,&x>0\end{cases}$ ，若 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的最小值，则 $a$ 的取值范围为（）.

A． $[-1,2]$ B． $[-1，0]$ C． $[1，2]$ D． $[0,2]$

【解析】

由于当 $x>0$ 时， $f(x)=x+\dfrac{1}{x}+a$ 在 $x=1$ 时取到最小值 $2+a$ ，

由题意当 $x \leqslant 0$ 时， $f(x)=(x-a)^2$ 应该是递减的， $(\textcolor[rgb]{1,0,0}{\text{因为要在}x=0\text{处取到最小值}})$

则 $a \geqslant 0$ ，此时最小值为 $f(0)=a^2$ ，

因此 $a^2 \leqslant a+2$ ，

解得 $0 \leqslant a \leqslant 2$ ，

选D.

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