线性兔子和非线性兔子2

书名：复杂（第一推动丛书·综合系列）
作者：梅拉妮·米歇尔
译者：唐璐
出版社：湖南科学技术出版社
出版时间：2018-01-01
ISBN：9787535794369

• 为了更好地理解非线性以及混沌现象，我们要研究一点点简单的数学，借用一个经典的生物群体数量动力学模型来阐释线性和非线性。

• 但是如果考虑到种群数量增长所受的限制，情况会怎样呢？

一、非线性兔子

1、模型

• 假定前面的规则仍然成立，每对兔子每年生4只小兔子然后死去。
  不过现在有些小兔子会因为太过拥挤没有繁殖就死去。
  研究种群数量的生物学家常用逻辑斯蒂模型（Logistic model）描述这种情形下群体数量的增长。

• 这个模型以一种简化方式描述群体数量的增长。
  你设定好出生率、死亡率（由于种群数量过多导致的死亡概率）以及最大种群承载能力（栖息地所能承载的种群数量上限），然后将这一代的种群数量代入逻辑斯蒂模型：

  
  其中nt是当前这一代的种群数量，k是承载能力。

2、例1

就能算出下一代的种群数量。
你可以在图2.8中看到它的变化情况。

• 举个简单的例子，设出生率为2，死亡率为0.4，承载力为32，第一代有20只兔子。用逻辑斯蒂模型算出第二代为12只。将新的种群数量再代进去，又可以得出第三代仍然是12只兔子存活。此后的兔子数量将一直维持在12只。

  
  图2.8 根据逻辑斯蒂模型得出的当年与次年种群数量的关系曲线，出生率为2，死亡率为0.4，承载力为32。如果取其他参数，曲线仍然是抛物线

3、例2

• 如果将死亡率降到0.1（其他参数不变），会有些有趣的事情发生。根据模型可以得出第二代为14.25只兔子，第三代则为15.01816只。
• 将算出的种群数量再代进去计算下一代的种群数量，这个不断重复的过程即所谓的“对模型进行迭代”。

4、例3

• 如果将死亡率恢复成0.4，承载力翻一倍变成64，结果又会怎样呢？根据模型我们发现，从20只兔子出发，9年后种群数量会变为接近24的一个值，然后停在那里。

5、非线性兔子

• 你可能注意到了这些例子中的种群变化比前面单纯每年翻番的情形复杂得多。
  这是因为引入了种群数量过多导致的死亡，模型变成了非线性的。
  其图形不再是直线，而是抛物线（图2.8）。
• 逻辑斯蒂模型中的群体数量变化不再简单等于部分之和。
  为了说明这一点，我们将20只兔子分为两群，每群10只，再对各群进行迭代（参数同前面一样，出生率为2，死亡率为0.4）。
  图2.9为迭代结果。
  图2.9 分到两个岛上的兔子，逻辑斯蒂模型
• 第一年，前面是20只兔子只剩下12只，而分成两群后，每群有11只，总共22只。
  整体的变化不再等于各部分的变化之和。