抛物线与圆：2016年全国卷A题10

2021-01-24 本文已影响0人易水樵

以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A,B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D,E$ 两点. 已知 $|AB| = 4 \sqrt{2}, \; |DE| =2\sqrt{5}$ ，则 $C$ 的焦点到准线的距离为

$(A)2 \qquad (B)4 \qquad (C)6 \qquad (D)8$

2016年全国卷A题10

【解答】

本题图形是一个轴对称图形， $x$ 轴是其对称轴。

记 $AB,DE$ 的中点为 $M,N$ ，由勾股定理可得：

$R^2=(\sqrt{5})^2+(\dfrac{p}{2})^2=x^2_A+(2\sqrt{2})^2$

$x^2_A=(\dfrac{p}{2})^2-3$

注意点 $A$ 坐标满足抛物线方程：

$y^2=2px \Rightarrow y^4=4p^2x^2$

$(2\sqrt{2})^2=8^2=4p^2(\dfrac{p^2}{4}-3)=p^4-12p^2$

$p^4-12p^2-64=0$

$(p^2-16)(p^2+4)=0$

$p^2=16 \Rightarrow p=4$

【提炼与提高】

本题涉及抛物线和圆的基本性质。
这个题的计算过程十分简单。背后体现的几何内涵却是很丰富的，值得细细地口味。