弦振动方程的解法（分离变量法+行波法）

2022-01-09 本文已影响0人景知育德

弦振动方程的解法

微分方程基础

本文所言的方程基本上是微分方程，而非中学阶段所言的代数方程，微分方程的求解目标一般是一个函数，而代数方程的解一般是一个值。下面给出两例来介绍微分方程和代数方程的区别。

下列方程是一个典型的代数方程：

$x^2-3x+2=0$

根据中学阶段所学的知识，可以解出方程的两个代数解：

$x_1=1,\ x_2=2$

下列方程是一个典型的微分方程：

$\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}-3\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}+2y=0$

根据本科阶段所学的知识，可以解出方程的通解：

$y=c_1{\rm e}^{x}+c_2{\rm e}^{2x}$

但是上述的微分方程是常微分方程，常微分方程只有一个变量。而对于弦振动来说，位置 $x$

和时间 $t$ 都是变量，故而弦振动方程是一种偏微分方程。

弦振动方程介绍

弦振动方程是波动方程的一种，是局限在一维空间内的波动方程。我们假定弦上在位置 $x$ 处的一点，在时间 $t$ 时刻，偏移平衡位置的偏移量是 $u(x,t)$ ，那么偏移的加速度就是 $u$ 关于 $t$ 求两次偏导数 $u_{tt}$ ，而弦的弯曲程度（凹凸性）是 $u$ 关于 $x$ 的二阶偏导数 $u_{xx}$ 。

易于理解，当 $u_{xx}$ 为正数时，意味着弦在这里向下凸，类似于”U“字型。这个地方在两端的拉力下，拉力的左右分力相互抵消，只剩下向上的分力。这个地方应该向上有加速度，所以 $u_{tt}$ 也为正。同样地，当 $u_{xx}$ 为负数时，类似于”∩“字型，加速度为负。

通过物理背景，我们可以列出弦振动方程：

$u_{tt}=a^2u_{xx}$

偏移量 $u$ 的国际单位是 $\rm m$ ，它关于 $t$ 求两次偏导数，所得加速度的单位是 $\rm m/s^2$ ，而右边 $u_xx$ 的单位是 $\rm m^{-1}$ ，这样，我们可以得到 $a$ 的单位是 ${\rm m/s}$ ，实验现象表明，这里的 $a$ 就是波速。

分离变量法解弦振动方程

上文我们列出了弦振动方程的偏微分方程，对于有限长弦振动问题，我们可以尝试用分离变量法来求解弦振动方程。

如果弦长 $L$ ，并且弦两端固定，那么可以得到偏微分方程的两个边界条件：

$u|_{x=0}=0,\ u|_{x=L}=0$

在物理现象中，代表空间的 $x$ 和代表时间的 $t$ 是可以分离的。

假定 $u(x,t)=X(x)T(t)$ ，代入原偏微分方程，得到：

$X(x)T''(t)=a^2X''(x)T(t)$

变形

$\frac{X''}{X}= \frac{T''}{a^2T}$

令这个数值为 $-\lambda$ ，即 $\frac{X''}{X}= \frac{T''}{a^2T}=-\lambda$ ，我们得到了两个常微分方程：

$X''+\lambda X=0$

$T''+\lambda a^2 T=0$

当 $\lambda \le 0$ 时，考虑到边界条件的话，只能得到零解 $X(x)=0$

当 $\lambda > 0$ 时，根据本科学习的知识，可以解出 $X(x)$ 的通解：

$X(x)=a \sin \sqrt{\lambda }x + b \cos \sqrt{\lambda }x$

考虑到边界条件 $u|_{x=0}=0,\ u|_{x=L}=0$ ，即

$X(0)=b =0,\ X(L)=a \sin \sqrt{\lambda}L=0$

可知 $\sqrt{\lambda} L = n\pi,\ n=1,2,...$

我们可以解出 $\lambda _n=n^2\pi^2/L^2$

下面我们再关注 $T''+\lambda a^2 T=0$ ，我们可以解出 $T(t)$ 的通解：

$T(t)=c \sin \sqrt{\lambda}at + d \cos \sqrt{\lambda}at$

实际上，因为 $\lambda$ 可以取不同的值， $T(t)$ 是一系列波的叠加：

$T(t)=\sum_{n=1}^{\infty} (C_n \sin \sqrt{\lambda_n}at + D_n \cos \sqrt{\lambda_n}at)$

故而，我们得到了有限长弦振动方程的一般解：

$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} (C_n \sin n\pi at/L + D_n \cos n\pi at/L)\sin n\pi x/L$

如果能给出初始条件，便能确定 $C_n$ 和 $D_n$ 的值，从而得到了有限长弦振动方程的特解。

行波法求解弦振动方程

在无限长的弦上，一切的波动都可以看做一个左行波和一个右行波的叠加。故而可以假设

$u(x,t)=f_1(x-at)+f_2(x+at)$

上面这个方程恰好满足弦振动方程 $u_{xx}=a^2u_{tt}$ ，是无限长弦振动方程的通解。

如果我们有初始条件（弦的初始形状和初始速度）：

$u|_{t=0}=\varphi (x),\ u_t|_{t=0}=\psi (x)$

将通解代入

$f_1(x)+f_2(x)=\varphi (x),\ -af'_1(x)+af'_2(x)=\psi (x)$

对后者求一次不定积分可得

$-f_1(x)+f_2(x)=\frac{1}{a}\int \psi (x){\rm d}x$

可以分别解出 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ ：

$f_1(x)=\frac{1}{2} \varphi(x) - \frac{1}{2a}\int \psi (x){\rm d}x$

$f_2(x)=\frac{1}{2} \varphi(x) + \frac{1}{2a}\int \psi (x){\rm d}x$

那么， $u(x, t)=f_1(x-at)+f_2(x+at)$

$u(x,t)=\frac 12 (\varphi (x+at)+\varphi (x-at))+\frac 1{2a}\int_{x-at}^{x+at} \psi(x){\rm d} x$

这一结论又称为d'Alembert公式、

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