函数的连续性与间断点

2019-02-19 本文已影响2人 yanyuanfen

一、函数的连续性

1.1 增量

设变量 $\mu$ 从它的一个初值 $\mu_1$ 变到终值 $\mu_2$ ，终值与初值的差 $\mu_2-\mu_1$ 就叫做变量 $\mu$ 的增量，记作 $\Delta\mu$ ，即 $\Delta\mu=\mu_2-\mu_1$ 。

1.2 定义

定义 $\quad$ 设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果 $\quad \quad \quad \quad \lim_{\Delta x\rightarrow 0} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x)] = 0.$
那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果
$\quad \quad \quad \quad \lim_{\Delta x\rightarrow 0} = f(x).$
那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

二、函数的间断点

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：
（1）在 $x = x_0$ 没有定义；
（2）虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ 不存在；
（3）虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ 存在，但 $\lim_{x\rightarrow 0}f(x) \neq f(x_0)$ ,
那么函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 为不连续，而点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的$不连续点或间断点。

其中分为无穷间断点、振荡间断点、可去间断点、跳跃间断点。
如果 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的间断点，但左极限 $f(x_0^-)$ 及右极限 $f(x_0^+)$ 都存在，那么 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的第一类间断点。
不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。

函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1.1 增量

1.2 定义

二、函数的间断点

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