用公式法求简单几何体的表面积和体积

2021-02-01 本文已影响0人天马无空

空间几何体的表面积和体积是立体几何的重要内容之一，空间几何体的表面积、体积的计算是高考常考的热点．解决这类问题的方法主要有：基本几何体的求积公式法、分形割补法、等体积法等. 在高考中多以选择题、填空题出现，其难度属中档题.

用公式法求简单几何体的表面积和体积

使用情景：几何体是规则的几何体

解题步骤：

第一步先求出几何体表面积和体积公式中的基本量；

第二步再代入几何体的表面积和体积公式即可得出结论.

【例1】三棱锥 $A-BCD$ 的外接球为球 $O$ ，球 $O$ 的直径是 $AD$ ，且 $\triangle ABC,\triangle BCD$ 都是边长为 $1$ 的等边三角形，则三棱锥 $A-BCD$ 的体积是（）

A． $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$

B． $\dfrac{\sqrt{2}}{12}$

C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

D． $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$

【答案】B

【解析】

取 $BC$ 中点 $M$ ，则有 $AM \bot BC$ ， $DM \bot BC$ ， $\Rightarrow BC \bot$ 面 $AMD$ ，

所以三棱锥 $A-BCD$ 的体积是

$\dfrac{1}{3}\times BC \times S_{\triangle AMD}=\dfrac{1}{3}\times 1\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\times \sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$

选B.

【总结】

（1）对于表面积的公式不要死记硬背，多面体的表面积就是表面的几个面的面积直接相加，旋转体的就是展开再求；

（2）直接求解该题的关键是正确求出三棱锥底面的垂线.

【例2】已知三棱锥 $S-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $\triangle ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形， $SC$ 为球 $O$ 的直径，且 $SC=2$ ，则此棱锥的体积为（）

A． $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

B． $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$

C． $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

D． $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

【答案】B

【解析】

因为 $\triangle ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形，

所以 $\triangle ABC$ 外接圆的半径为 $r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，

点 $O$ 到面 $ABC$ 的距离是 $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ ，

又因为 $SC$ 是圆的直径，所以 $S$ 到面 $ABC$ 的距离是 $2d=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ ，

因此三棱锥的体积是 $V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle ABC} \times 2d=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \dfrac{2\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$ ，

故选B.

【总结】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：

①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；

②注意运用性质 $d=\sqrt{R^2-r^2}$ .