电势与场

在一个没有任何电荷的无限大空间中，电势的分布遵循Laplace's equation:
接下来的讨论中，我们将针对拉普拉斯方程展开讨论，并将其用python代码模拟出来。

公式推导

在点(i,j,k)上我们对x的偏分可以写作：
-v(i,j,k)}{\Delta x})
或者：
-V(i-1,j,k)}{\Delta x})
因此，容易得到：
-V(i,j,k)}{\Delta x}-\frac{V(i,j,k)-V(i-1,j,k)}{\Delta x}])
再稍微做一点运算，得到：
+V(i-1,j,k)-2V(i,j,k)}{(\Delta x)^2})

对y,z方向上的偏分运算也是类似的，在此就不做推导，再将上面的式子代入Laplace's equation中，得到：

=\frac{1}{6}[V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)+V(i,j,k+1)+V(i.j,k-1)])

我们先考虑平面的情况，因此上式改为：

=\frac{1}{4}[V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)])

具体算法

我们首先预设一些初始值，并用上式不断的迭代这些值，直到这些值满足Laplace's equation

• set initial value of laplace's V to be zero.
• loop through all points(i,j) except the boundary,where values of V_n are fixed by the boundary conditions.
  • 

    三维图

    
    

    电场分布

    
    

    假设在无限大平面上有两块电势分别为1和-1的平板，试作出这个体系的电势图和电场分布

    

    总结

    总的来说，这道题目的算法并不复杂，难的地方可能在python值传递、浅copy和深copy的问题上，与其花大量时间研究python的内部机制，倒不如直接用numpy中的矩阵进行计算，也能大大简化代码。

    致谢

    绘图部分的代码参考了华杨学姐的代码