矩母函数（Moment Generating Function)

2021-01-24 本文已影响0人兔子不会武

矩母函数（Moment generating functions, mgfs)是关于 $t$ 的函数，定义为： $M_X(t) = E[e^{tX}]$ .

矩母函数性质：

唯一性。如果一个随机变量存在mgf，则对于这个mgf，有且只有一个与该mgf相关的分布（即两随机向量有相同矩母函数当且仅当它们有相同概率密度函数）。因此，矩母函数可以用于确定随机变量的分布（证明？？？有空找一下证明）。
矩母函数 $M_X(t)$ n阶导数并令 $t= 0$ ，即可得到随机变量的 $n$ 阶矩。
证明如下：
首先由泰勒级数可知：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$
则可得到，
$e^{tx} = 1 + tx + \frac{(tx)^2}{2!} + \frac{(tx)^3}{3!} + \dots + \frac{(tx)^n}{n!}$
对上式取期望可得：
$E(e^{tx}) = E[1 + tx + \frac{(tx)^2}{2!} + \frac{(tx)^3}{3!} + \dots + \frac{(tx)^n}{n!}] = E[1] + tE[x] + \frac{t^2}{2!} E[x^2] + \frac{t^3}{3!} E[x^3] + \dots + \frac{t^n}{n!}E[x^n]$
对t取一阶导，并求倒数在t=0处的结果，可得：
$\frac{d}{dt}E[e^{tx}] = \frac{d}{dt}(E[1] + tE[x] + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots + \frac{t^n}{n!}E[x^n])$ = E[x]
其他阶导数同样可以求得 $X$ 的 $n$ 阶矩。