初中代数（八）：函数

函数

变量与常量

y = 1.5x² + 4，变量是 x, y，常量是 1.5, 4

函数定义

如果有两个变量 x, y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x = a 时，y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。自变量 x 的取值范围叫做定义域，函数值 y 的取值范围叫做值域

y = 是函数，定义域为 x ≥ 3，值域为 y ≥ 0
y = ± 不是函数，因为对于 x 的每一个确定的值，y 都有两个值与其对应

表示函数的三种方法：

• 解析法
• 列表法
• 图像法：列表、描点、连线

一次函数

正比例函数

y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做正比例函数，k 叫做比例系数

一次函数

y = kx + b (k, b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数，正比例函数是特殊的一次函数 b = 0

一次函数与一元一次方程

1. 从数的角度看：
   求方程 ax + b = 0 (a ≠ 0) 的解 <=> 当 x 为何值时，函数 y = ax +b 的值等于 0
2. 从形的角度看：
   求方程 ax + b = 0 (a ≠ 0) 的解 <=> 确定直线 y = ax + b 与 x 轴的交点的 x 值

一次函数与一元一次不等式

1. 从数的角度看：
   求不等式 ax + b > 0 (a ≠ 0) 的解 <=> 当 x 为何值时，函数 y = ax + b 的值大于 0
2. 从形的角度看：
   求不等式 ax + b > 0 (a ≠ 0) 的解 <=> 确定直线 y = ax + b 在 x 轴上方的图像所对应的 x 的取值范围

一次函数与二元一次方程

每个二元一次方程 ax + by = c 都可以改写为一次函数 y = kx + b 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线

1. 从数的角度看：
   求方程 ax + by = c 的解 <=> 当 (x, y) 为何值时，函数 y = kx + b 成立
2. 从形的角度看：
   求方程 ax + by = c 的解 <=> 直线 y = kx + b 上每个点的坐标 (x, y) 都是这个二元一次方程的解，有无数个解

一次函数与二元一次方程组

任意两个一次函数图像的交点坐标，都是它们所对应的二元一次方程组的解

① y = -x +
② y = 2x - 1

③ 3x + 5y = 8
④ 2x - y = 1

每个一次函数都对应着一个二元一次方程：

• 函数 ① 对应着二元一次方程 ③
• 函数 ② 对应着二元一次方程 ④
• 函数 ① 所对应的直线上的点的坐标是方程 ③ 的解，有无数解
• 函数 ② 所对应的直线上的点的坐标是方程 ④ 的解，有无数解

两个一次函数对应着一个二元一次方程组：

• 函数 ① ② 对应着二元一次方程组 ③ ④
• 函数 ① ② 对应直线的交点坐标是二元一次方程组 ③ ④ 的解，只有一个解

二次函数

二次函数

y = ax² + bx + c (a, b, c 都是常数，a ≠ 0) 的函数叫做二次函数

二次函数的形式：

• 一般式：y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
• 顶点式：y = a(x - h)² + k

二次函数的图像

y = ax² 的图像是抛物线，关于 y 轴对称，顶点是原点(0, 0)，a > 0 时，开口向上，a < 0 时，开口向下，|a| 越大，开口越小

y = ax² + k 的图像是由 y = ax² 的图像上下平移，k > 0 时，向上平移，k < 0 时，向下平移(上加下减)，顶点是 (0, k)

y = a(x - h)² 的图像是由 y = ax² 的图像左右平移，h > 0 时，向右平移，h < 0 时，向左平移(左加右减)，对称轴是直线 x = h

y = a(x - h)² + k 的图像是由 y = ax² 的图像平移得到的：

• a 决定开口方向，a > 0 开口向上，a < 0 开口向下，|a| 越大，开口越小
• h 决定左右平移，h > 0 向右平移，h < 0 向左平移
• k 决定上下平移，k > 0 向上平移，k < 0 向下平移
• 对称轴为直线 x = h
• 顶点坐标 (h, k)

通过配方法可以将一般式化作顶点式

y = ax² + bx + c
= a(x² + x) + c
= a(x² + )