手拉手模型在北京交大附中初二期中考试中被这样出题了

在几何教学中，把一些有某些特征的图形总结为模型，是培养初中生几何产生兴趣并尽快掌握知识点的好方法。手拉手模型就是一种经典模型，在全国各地近年来的数学中考中，常被用作几何压轴题型。

在刚刚结束的期中考试中，北京交大附中初二的第26题就考到了这一知识点，我们一起来看一下它的难度。

如图C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB，与直线m交于点E，连接BC、AE。

（1）如图（1），点C在线段AB上，求证：∠EAC=∠EDC；

（2）如图（2），点C在直线AB的上方，0°<∠CAB<30°，判断线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明。

我们先来看第一问。要求的两个角∠EAC和∠EDC，不在同一个三角形，不能直接证明它们相等，但从图中我们可以看到它们都是∠B可以发生关系。

因为，直线m民线段AB的垂直平分线，m上的点到A、B两点的距离相等。

所以，AE=BE，AC=AB

所以，∠EAC=∠B。

因为三角形ACD是等边三角形，

所以，AC=CD，BC=CD

所以，∠B=∠EDC，∠EAC=∠EDC。

第一问解答完毕，我们再来看第二问。

我们可以初步判断出这一问是考的知识点是“手拉手模型”。这个模型的定义是：两个顶角相等且有公共顶点的等腰三角形形成的图形。

具体到这个题，因为三角形ACD是等边三角形，下一步我们就要以A为顶点，再构建一个三角形，同样为等边三角形，且其中一条边与我们要求的三条线段中的一条相等，长度是另两条线段长度之和。

从图中我们不难看出，BE=AE，只要以A为顶点，以AE为边构建一个等边三角形即可。

围绕这个目标，我们延长ED至F，使DF=CE，连接AF，这样就构建了一个三角形AEF，只要能证明三角形AEF是等边三角形，问题就解决了。

我们再连接BC，从第一问的求证过程中我们可以知道AC=BC=CD，∠EAC=∠EBC=∠EDC。

△DOE与△AOC构成一个“8字模型”，所以∠ACD=∠AED=60°。

因为，m垂直平分线段AB，

所以，∠AEC=∠BEC=∠AED=60°

因为，∠ACG=60°+∠EAC，∠ADE=60°+∠EDC

所以，∠ACE=∠ADF

可以证明△ACE≌△ADF，AE=AF

△AEF为等边三角形，AE=EF=DE+DF

所以，BE=DE+CE

△AEF与△ACD也构成一个手拉手模型。