空-时几何学

相对论向我们表明，在一个坐标系中测量到的位置和时间，以及在另一个坐标系中所测量到的，两者之间不再是我们的直觉观念所预期的那种关系。透彻地理解洛伦兹变换中隐含着的空间和时间的关系是非常重要的，

一位“静止不动的”观察者所测量到的坐标和时间（x, y, z, t），以及在以速度u飞行的“运动着的”宇宙飞船内测量到的相应的坐标和时间（x′, y′, z′, ′t），两者之间的洛伦兹变换是

方程组（1.5）

我们把这组方程与方程组（1.5）做个比较，方程组（1.5）也把两个坐标系的测量结果联系起来，在那里，其中一个坐标系相对于另一个坐标系做转动：

方程组（2.5）

在这个特别的情形中进行测量所使用的坐标系在x′轴和x轴之间有一个夹角θ。在每一种情况下，我们都注意到“带撇的”量是“不带撇的”量的“组合”：新的x′是x和y的组合，而新的y′也是x和y的组合。

做一个类比是有帮助的：当我们观察一个物体时，有一个显而易见的性质，可以称之为“视宽度”，还有一个性质，可以称之为“深度”。但是，宽度和深度这两个概念并不是物体的基本性质，因为，如果我们走到一旁，从一个不同的角度观察同一个物体，就会得到不同的宽度和不同的深度，而且，我们可以导出一些公式，用来从原来的量和所涉及的角度计算新的量。方程组（5.2）就是这样一个公式。人们可能会认为，一个给定的深度是所有深度和所有宽度的一种“组合”。假如物体是永远不能动的，而且我们总是从同一个位置观察一个给定的物体，那么，这整件事情就完全不一样了——我们将总是看到“真实的”宽度和“真实的”深度，而且，它们看起来似乎具有完全不同的性质，因为一个量表现为对着视角方向的弦，而另一个量则涉及眼睛的聚焦甚至直觉；它们似乎是完全不同的量，并且永远不会被混起来。正是由于我们能够四处活动，因此才会认识到，从某种意义上说，深度和宽度只不过是同一事物的两个不同的方面。

难道我们不能以同样的方式看待洛伦兹变换吗？在这里也存在某种组合——位置和时间的组合。空间度量和时间度量之间的差异产生出一个新的空间度量。换句话说，某个观测者的空间度量，在另一个观测者看来，搀进了一些时间。上述的类比使我们产生这样的想法：由于某种原因，我们正在考察的物体的“真实性”（粗略地、直观地说）并不仅仅是它的“宽度”和“深度”，原因就是，这些属性到底怎样，取决于我们如何去观察它；当我们移到一个新的位置时，我们的头脑就会立刻重新计算它的宽度和深度。但是，当我们高速度运动时，我们的头脑并不会立刻重新计算坐标和时间，因为我们还没有任何以接近光速运动的实际经验去理解时间和空间也具有相同的本性这个事实。这就好比我们总是站在这样一个位置上，只能看到某个物体的宽度，不能以这样或那样的方式略微动一动脑袋；我们现在明白了，如果我们能够这样做的话，我们就应该看到另一个观察者的一些时间了——比如说我们会看到“推迟”一点的时间。

因此，我们将尝试在一种新的空间和时间混合在一起的世界中思考客观事物，这就好比物体在我们这个普通的空间世界中是真实的，而且能够从不同的方向去观察它一样。我们将认为，占有空间并持续一段时间的客观事物在新的世界中占有一个“小块”，而当我们以不同的速度运动时，就是从不同的角度去观察这个“小块”。这个新的世界是这样一个几何实体，其中每一个“小块”都通过占有位置并占据一段时间而存在，我们把这个几何实体叫做空-时。在空-时中，一个点（x, y, z, t）叫做一个事件。例如，设想在水平方向画出x轴，在另外两个方向画出y轴和z轴，它们两两互成“直角”并与纸面成“直角”，而在竖直方向画出时间轴。那么，在这样一个图上，比如说一个运动的粒子看起来会怎样呢？假如粒子是静止的，那么，它就具有一个确定的x，而随着时间流逝，它具有的x值不变；因此，它的“轨迹”就是一条平行于t轴延伸的直线 [图5-1（a）]。另一方面，如果它慢慢地向外移动，那么，x就随着时间流逝而增加 [图5-1（b）]。因此，比如说一个开始时向外运动并逐渐慢下来的粒子就会具有类似于图5-1（c）中显示的那种运动。换句话说，一个永远不变的和不衰变的粒子在空-时中用一条线来表示。一个衰变的粒子将用一条有分叉的线表示，因为它会从分叉点开始变成两个别的东西。

图5-1 三个粒子在空-时中的轨迹：（a）一个静止于x=x0处的粒子；（b）一个以恒定速度从x=x0处开始运动的粒子；（c）一个以高速开始做减速运动的粒子

光波怎样呢？光波以速度c传播，而这将由一条具有确定斜率的直线表示 。

现在，按照我们的新概念，假如一个粒子经历了某个事件，比如说，假如它在某个空-时点上突然衰变成两个沿着某些新的轨迹运动的新粒子，而且这个有趣的事件发生在某个x值和某个t值处，那么，我们就会预期，如果这有任何意义的话，只需要取一对新的坐标轴，并把它们转动一下，在这个新的坐标系中，我们就会得到新的t和新的x，如图5-2（a）所示。但这却是错的，因为方程组（5.1）与方程组（5.2）并不是完全相同的数学变换。要注意，比如说，这两组方程之间正负号的差别，还有，一组方程用cosθ和sinθ表示，而另一组方程则用代数量表示。（当然，将代数量写成余弦和正弦的形式并非不可能，但是，它们实际上不能这样写。）不过，这两组表达式还是非常相似。正如我们将要看到的，并非真的能把空-时想象成一个真实的、普通的几何实体，原因就在于正负号的差别。事实上，虽然我们不会强调这一点，但结果证明，一个运动着的观察者必须使用一套与光线成相同倾角的坐标轴，用一种平行于x′轴和′t轴的特殊的投影方法得出他的x′和′t，如图5-2（b）所示。我们将不讨论这种几何学问题，因为这并没有多大的帮助；使用数学公式做研究更加容易一些。

图5-2 一个正在衰变的粒子的两种视图