盈亏问题主要在探讨将一堆物体分配给另一堆物体，由于分配方式的不同，会导致需求量的变化。例如把24个物体，分给4个小组，每组分5个，还有4个多出来，这种多出来的现象叫盈；如果每组分7个，则还缺4个，这种需求量缺少的现象叫亏。盈亏问题因此而得名。

在研究盈亏问题的时候，会出现很多核心的词，例如：还剩余，还缺，刚好分完，不够，迟到，早到等等，不同的词在不同的场景中，所蕴含的意义是不一样的。在课程中，我们需要重点学习如何利用图形来呈现其中的含义，训练孩子数学阅读理解的能力。

第一课，我们一起研究盈亏问题中的“都亏”现象，一起看例题：

饲养员将一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则缺24个桃子；如果每只猴子分8个桃子，则缺2个桃子。求猴子有多少只？桃子有几个？

1 分析关联物体和它们的关系

在题目中，首先我们需要找到发生关联的物体：猴子和桃子。在进行分配的过程中，我们把桃子分配给猴子，这就意味着一个猴子可以得到多个桃子。所以我们说猴子和桃子之间的关系是一对多的关系，这里猴子是一，而桃子是多。题目最后要求的，也正是猴子和桃子分别的数量。

2 绘制分配图

有了物体的关系，我们在创建图形的时候，就有标准。通常我们把“是一的物体”用框来表示，“多的物体”写在框中，需求量通常指“多的物体”的需求量。

当然你会说我为什么一定要用这套标准，我可以用圆圈来表示“是一的物体”，把"多的物体"写在圈外面可不可以。当然可以。但是我们鼓励创建一种统一的标准的符号语言，这符合数学学习的逻辑。

接下来我们把两个条件分别用图形表示出来：

1 如果每只猴子分10个桃子，则缺24个桃子

如上图1，我们标注了绘图过程中的3个要点：

（1）利用框来表示“是一的物体”，这里是猴子。每个猴子分得10个桃子，因此我们将数字10写在框中。

（2）猴子的总数量是未知的，因此我们无法确定框的总数，于是我们要使用缩略图来表示，省略号代表了未知的部分。

（3）分配完成后，总的桃子还缺24个，出现了“亏”。我们将需求量的状态写在图的尾部。

2 如果每只猴子分8个桃子，则缺2个桃子

有了图1，那么每只猴子分8个桃子，还缺2个，就可以同样绘制，如图2。需要注意的是，在这个过程中，猴子的总数量是不会发生变化的，因此，我们需要保持前后框的数量一致。

3 计算总需求量的变化

接下来，也是最关键的部分，就是计算需求量的变化。从（1）中的缺24，到（2）中的缺2，需求量总共变化了22，即24-2=22。这一步对三年级以上的孩子还是可以理解的。本来缺24个，现在只缺2个，说明数量上补充了22个进来，使得需求量减少了。

4 找到单个物体需求量的变化

接下来需要思考的是，为什么会产生这22个的需求量变化?通过对前后图形的分析，我们发现。每个猴子的桃子分配量从10个变成了8个，意味着每只猴子释放出了2个需求量，是因为每个猴子在不断地产生2个需求量，使得最终达到了22。哈哈，我们好像找到问题的答案了。

5 解决问题

1  前后两次分配总需求量的变化：

          24-2=22（个）

2  每个猴子释放的需求量：

          10-8=2（个）

3  猴子的总数量：

            22÷2=11（只）

4  桃子的总数量：

            11×8-2=86（个）

答：有猴子11只，桃子86个。

一 课后练习：

若干小朋友分糖，如果每人分15块则少18块；如果每人分13块，则少6块。问有多少小朋友？有多少块糖？

学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少7人。一共要排几行？一共有多少人？

学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。问三好学生有几人？铅笔有多少支？

二 费曼讲解：

在我们实际指导孩子解题的过程中，不仅仅要让孩子具备完整的解题思路和解题技巧，还要训练孩子讲解的能力。把一件事情讲清楚，让别人听懂。我们将课后练习的第一题制作成了讲解视频，你可以参考里面的讲解过程，训练你的孩子把他的解题过程讲解清楚。

三 课后练习答案：

1.答：一共有6人72块糖。

2.答：一共有5行38人。

3.答：三好学生19人，铅笔有126支。