怎么由 y=Asin(ωx+ψ)的图象求其函数式？

2020-07-26 本文已影响0人天马无空

由 y=Asin(ωx+ψ)的图象求其函数式

使用情景：一般函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 求其函数式

解题步骤：

第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与 $x$ 轴交点坐标等；

第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数 $A$ ， $\omega$ ， $\varphi$ 中一个或两个或三个；

第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；

第四步得出结论.

【例】已知函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\dfrac{\pi}{2},x\in \mathbb{R})$ 的图象如图所示，则该函数的解析式是（）

（A） $y=-4\sin\left(\dfrac{\pi}{8}x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

（B） $y=4\sin\left(\dfrac{\pi}{8}x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

（C） $y=4\sin\left(\dfrac{\pi}{8}x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

（D） $y=-4\sin\left(\dfrac{\pi}{8}x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

【答案】D

【解析】

当 $A<0$ 时， $A=-4$ ，

周期 $T=2\times(6-(-2))=16$ ， $\dfrac{2\pi}{\omega}=16$ ，

所以 $\omega=\dfrac{\pi}{8}$ ，当 $x=-2$ 时，

$\dfrac{\pi}{8}\times(-2)+\varphi=2k\pi$ ， $k \in \mathbb{Z}$

解得： $\varphi=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ ，

当 $k=0$ 时， $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$ ，

故选D.

【总结】本题的解题步骤是：首先根据已知图象与 $x$ 轴的交点坐标可得其周期为 $T$ ，进而可得 $\omega$ 的大小；然后观察图象知其振幅 $A$ 的大小；最后将图象与 $x$ 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到 $\varphi$ 的大小.

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