常用排列组合公式
2020-08-13 本文已影响0人
faterazer
1. 排列公式
个相异物件取
(
)个的不同排列总数,为
特别地,若 ,得
人们常约定把 作为
。当
不是非负整数时,记号
没有意义。
2. 组合公式
个相异物件取
个(
)个的不同组合总数,为
当 时,按
的约定,算出
,这可看作一个约定。
只要 为非负整数,
不论为任何实数,都有意义。故
可不必限制为自然数。例如:
3. 组合系数与二项式展开的关系
组合系数 又常称为二项式系数,因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中:
利用这个关系式,可得出许多有用的组合公式。例如,令 ,得
令 ,则得:
另一个有用的公式是
它是由恒等式 即
比较两边的 项的系数得到的。
其实,这条公式从直观上理解要更容易,即有两堆物品,第一堆有 件,第二堆有
件,要从这两堆物品中取出
件,有多少种取法?显然,我们可以先在第一堆取
件(
),然后在第二堆取
件,则取法有
种,把
的所有取值结果相加,即得上面的公式。
4. 物品分堆
个相异物件分成
堆,各堆物件数分别为
的分法是
此处, 都是非负整数,其和为
。注意:这里要计较堆的次序,例如,若有 5 个物体
分成
堆,则
和
应算作两种不同的分法。如果不考虑次序,还需要再除以
。
此式常称为多项式系数,因为它是 的展开式中
这一项的系数。