音乐之美——音乐与数学的关系

 

律吕调阳

          今日小寒，唐代诗人元稹有诗曰：

      小寒连大吕，欢鹊垒新巢。

      拾食寻河曲，衔紫绕树梢。

      霜鹰近北首，雊雉隐丛茅。

      莫怪严凝切，春冬正月交。

“小寒连大吕”，黄钟大吕这个成语很多朋友可能听过，本意上说，这是指的古代音律中的十二律，语出自《周礼》。黄钟和大吕分别是阳律和阴律的第一律。同时呢，古人也分别用这十二律指代历法中的十二个月份，黄钟对应子月，也就是农历的十一月，大吕对应丑月即十二月。小寒这个节气在农历中一般是在十一月末或十二月初，这也就是诗中“小寒连大吕”的含义。

  中国传统音乐中的乐律，是以三分损益法所得出的，其所得出的十二个音（十二律），虽然彼此间五度及四度音的相对关系是正确的，但在八度之中各半音的音高位置则并非是等距的，因此不利于音乐的转调。

        这个问题，同样存在于“五度相生律”中。为了调节这个问题，我们需要一个能够让半音音高位置变为等距的，新的定调法！

        直到明代

朱载堉在《律吕精义》、《乐律全书》中发表的新法密率（即十二平均律），以复杂的数学计算及乐器的实际实验，在世界上最先算出以比率，精确到小数点后25位数，将八度音等分为十二律，且实际制造出相应的律管及弦乐器，在1581年即提出这个概念，比比利时数学家兼军事工程师西蒙·斯特芬在西方音乐史上提出类似理论还要早，此外斯特芬并未发表其论文，而且斯芬特的计算错误累累，未能算出正确的比率1.059463。直到1638年法国科学家马兰·梅森出版《和谐音概论，西方世界才第一次出现1.059463 这个数字，比朱载堉晚了数十年。

     

这里不得不夸一下古中国强大的算术工具——算盘。我猜，正是因为这个特殊的工具的存在，朱载堉才能够计算出小数点后25位的精度。这里要特别介绍一下“二分法”这个方法（来源：维基百科）:

好难，我这个学渣看不懂

    朱载堉用了一个81位的双排算盘，把这事给搞定了，并且算到了小数点后20位！

朱载堉用的超级算盘

遗憾的是这项发明没有被大家发扬光大，而被埋没到历史沉淀中。

        西方人提出“十二平均律”后，开始在音乐界流传并广泛应用。十二平均律的创立，解决了困扰中西方2000多年的“非平均律不能随意转调”的问题。

    在我们的民族乐器中，琵琶、阮、柳琴、冬不拉等所有有品的乐器都在使用“十二平均律”。

      这样设计的好处是：任意歌曲旋律，升高或降低1个或多个音（即转调）后，各音相互间隔关系仍旧符合原来旋律，听觉上除了调的变化，效果跟原来旋律是一样的。

    “平均”是为了方便转调，那么“十二”又是什么原因？

这个可以说是历史的必然，原因跟人类听觉的特点有关。古代中国和西方，在研究音律的实践中，遵循前面说到的人类听觉的3个特点，以一个基准音为起点，反复使用所谓“三分损益法”、“五五相生法”等方法，实际上就是寻找小整数比的和谐音，找到一个又一个“新”的音，再从低到高组成音阶。

上述方法循环往复一定次数后，会发现生成的音是基准音的2倍频或半频，相当于跨越了一个八度。巧妙的是，在一个八度内，生成的音正好是12个（包括起始音，不包括高八度音）！读者如果不信，可以自己尝试计算一下。

可能有人不服气：我偏不按12份分是否可以？当然也可以，其实有人试过，甚至划分了200多份的也有。但是划分粗了，音不够多，音乐表现力差；划分细了，音太多，耳朵都区分不出来。关键问题是偏离小整数比太大，比如等比划成11份或13份，声音就不和谐悦耳，甚至会让人难受煎熬。

      数学的基础设定，用毕达哥拉斯的话来说，就是“万物皆数”。所有的一切都可以被量化表达，就是数学的假设。所有的数学逻辑演绎，最后都要回归到最初的基础设定，达成所谓的“自洽”。