如果波函数在四元数体上取值……
让我们开一个脑洞:如果取值为复数的波函数,现在可以在四元数体上取值,那么情况会如何?
首先,波函数依然满足薛定谔方程:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/f52b75fe74bb3270.png)
然后,现在波函数和原来量子力学的相比,唯一的区别就是可以取四元数。
为了简单起见,我们做一个简化:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/3fe624cb3f331ca4.png)
势能V是常值,然后取自然单位制所以薛定谔常数为1。
我们进一步要求此时波函数可以写为如下形式:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/c6ec9cb5ae31cfd6.png)
代入演化方程可得:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/b87b4d2f900191ef.png)
如果我们将J与K这两部分都去掉,那么剩下的当然就是普通的薛定谔方程了。求其自由解,典型的平面波解就为:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/f24662278de34024.png)
我们当然可以参照这一形式来给出自由波函数:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/fa6b8e8ac38b525d.png)
但对于这种波函数的物理解是却存在了问题——
我们现在多了两个静态的标量势,且这两个势能似乎无法通过某些更加基本的第一性原理来获得——它们不是动能,也不知道到底是什么能。
现在我们可以来看球面波。
原本取值为复数时,几率波的自由球面波形式为:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/a14bc396cd9ee3d6.png)
现在,在四元数体上,球面波的形式会变得非常丰富(且荒谬),下面给出一种相对来说最简单的形式:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/b54dd07e84031fd2.png)
其中
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/3baf978531cbf6e4.png)
可见,球对称的情况下,允许存在一些“变化”这的第二、第三复相位所共轭的场,这个场本身可以分解为静态平面波形分布的部分,以及一个球对称且在径向越来越快速震荡的场这么两部分,且这第二、三复相位共轭的场的这第二部分是相互存在耦合的。
我们发现这里总能量除了粒子的动能加势能,还有额外的几项来源,一个就是j和k这两个复方向所共轭的“动量”提供的动能,一个是径向逐渐增大的部分,另一个则存在一定的方向性。
这等于说,如果我们将E依然看作粒子总能量从而必须是守恒的,那么这个系统显然就破坏了这种性质,这样的波函数必然不存在,除非没有这一径向场。
于是,我们下面考虑没有这一第二、三复相位共轭径向场的情况下,球对称波函数的形式:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/c25e554240983457.png)
柱面波的形式与球面波类似。
于是现在考虑双个点源构成的干涉现象:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/b679b31e8a62acb6.png)
其中两个N是在三个复单位构成的R3空间中的单位向量。
当不存在第二、三复相位时,两个N当然是相等的,但当存在第二、三复相位的时候它们就不等了,从而可以引发不同的干涉条纹。
其中,最关键的就在于第二、三共轭动量的存在,可能引起干涉条纹的整体偏移等改变。
比如说,当第二、三复相位所关联的常数c非常巨大时,我们发现,系统“退相干”了——这是一个非常有趣的结果。
上述双点源的波干涉结果可以写为:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/76c97922b32335a1.png)
可见,第二、三复相位的存在的作用便是降低量子相位的“起伏”。
是不是觉得这个Toy Theory很有趣?
由于第二、三复相位现在多了自由度,所以原则上可以得到很多和传统量子理论不同的结果,但有多少是物理上真实的,这个就再说了。
当然了,整个这个模型本就是Toy Theory,和物理也未必有多少关系。
这个模型还可以玩得再“有趣”一点。
比如说,传统的薛定谔方程在标量条件下考虑相对论效应,我们可以得到克莱恩方程:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/9363afc32ca57de4.png)
这个方程相对薛定谔方程来说,最“有趣”的一点在于:没有特别指定的复相位单位i,从而可以得到更加自由的解:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/371df44e0578b38a.png)
是不是自由度大了很多?
我们还可以做一个适当的变形:
![](https://img.haomeiwen.com/i19321/680f0923a7edd94a.png)
这个的两个方程是不是很眼熟?如果我们将那个任意的复相位单位向量n取为常规的虚数单位i,那么我们实际上得到的(形式上)就是相对论性量子力学中的狄拉克方程!
更有趣的是,四元数的虚数单位之间也恰好满足了Dirac矩阵反对易的特点。
所以,将四元数作为波函数的取值空间,似乎看起来也不是完全没可能哟~~~
当然,这依然只是一个Toy Theory。
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