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【数学建模算法】(18)排队论：M/M/s等待制排队模型

2019-08-17  本文已影响1人  热爱学习的高老板

1.单服务台模型

单服务台等待制模型M/M/1/\infty是指：顾客的相机到达时间服从参数为\lambda的负指数分布，服务台个数为1，服务时间V服从参数为\mu的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

1.1.队长的分布

记p_{n}=P\{N=n\} \quad(n=0,1,2, \cdots)为系统到达平衡状态后队长N的概率分布，则由(17)中关于指数分布的分析,并注意到\lambda_{n}=\lambda, n=0,1,2, \cdots和\mu_{n}=\mu, n=0,1,2, \cdots。记\rho=\frac{\lambda}{\mu}
并设\rho<1（否则队列将排至无限远），则：C_{n}=\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{n}, \quad n=1,2, \cdots
所以：p_{n}=\rho^{n} p_{0}, \quad n=1,2, \cdots
其中p_{0}=\frac{1}{1+\sum_{n=1}^{\infty} \rho^{n}}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \rho^{n}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{1-\rho}\right)^{-1}=1-\rho
因此p_{n}=(1-\rho) \rho^{n}, \quad n=1,2, \cdots
上面两个公式废除了在平衡条件下系统中顾客数为n的概率。由上式可以看出，\rho是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因此，因此也成\rho为服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，上述式子的推导前提是\rho=\frac{\lambda}{\mu}<1即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。

1.2.几个主要性能指标

已经得到概率分布，可以求得期望，期望即为平均队长：
\begin{aligned} L_{s} &=\sum_{n=0}^{\infty} n p_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n(1-\rho) \rho^{n} \\ &=\left(\rho+2 \rho^{2}+3 \rho^{3}+\cdots\right)-\left(\rho^{2}+2 \rho^{3}+3 \rho^{4}+\cdots\right) \\ &=\rho+\rho^{2}+\rho^{3}+\cdots=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda} \end{aligned}
平均排队长是：
L_{q}=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1) p_{n}=L-\left(1-p_{0}\right)=L-\rho=\frac{\lambda^{2}}{\mu(\mu-\lambda)}

关于顾客在系统中的逗留时间T，可说明它服从参数为\mu-\lambda的负指数分布，即P\{T>t\}=e^{-(\mu-\lambda) t}, \quad t \geq 0
可直接得到平均逗留时间：W_{s}=\frac{1}{\mu-\lambda}
因此，顾客在系统中的逗留时间为等待时间T_{q}和接受服务时间V之和，即：T_{s}=T_{q}+V
故由：W_{s}=E(T)=E\left(T_{q}\right)+E(V)=W_{q}+\frac{1}{\mu}
可得等待时间W_{q}为：W_{q}=W_{s}-\frac{1}{\mu}=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}

L_{s}与平均逗留时间W_{s}具有关系：
L_{s}=\lambda W_{s}
同理，平均排队长L_{q}与平均等待时间W_{q}具有关系
L_{q}=\lambda W_{q}

上面两个公式称为Littile公式，是排队论中一个非常重要的公式。

1.3.忙期和闲期

在平衡状态下，忙期B和闲期I一般为随机变量，求取它们的分布是比较麻烦的。因此，我们来求一下平均忙期\overline{B}和平均闲期\overline{I}。由于忙期和闲期出现的概率分别为\rho和1-\rho，所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为\rho :(1-\rho)。又因为忙期和闲期是交替出现的，所以在充分长的时间里，它们出现的平均次数应是相同的。于是，忙期的平均长度\overline{B}和闲期的平均长度\overline{I}之比也应是\rho :(1-\rho)，即
\frac{\overline{B}}{\overline{I}}=\frac{\rho}{1-\rho}
又因为在到达为 Poisson 流时，根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假设，容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止（即闲期）的时间间隔仍服从参数为\lambda 的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。因此，平均闲期应为\frac{1}{\lambda}，这样，便求得平均忙期为：
\overline{B}=\frac{\rho}{1-\rho} \cdot \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\mu-\lambda}
可发现，平均逗留时间\left(W_{s}\right)=平均忙期(\overline{B})。
从直观上看，顾客在系统中逗留的时间越长，服务员连续繁忙的时间也就越长。

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