借助题目中给出的不等信息求离心率的范围

2021-02-22 本文已影响0人天马无空

借助题目中给出的不等信息求离心率的范围

方法四借助题目中给出的不等信息

解题步骤：

第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立， $\Delta$ 的范围等；

第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
【例】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上， $A_1$ ， $A_2$ ， $B_1$ ， $B_2$ 为椭圆的顶点， $F_2$ 为右焦点，延长 $B_1F_2$ 与 $A_2B_2$ 交于点 $P$ ，若 $\angle B_1PB_2$ 为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A． $\left(\dfrac{\sqrt{5}-2}{2},1\right)$

B． $\left(0,\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}\right)$

C． $\left(0,\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$

D． $\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2},1\right)$
【解析】

设 $B_1(0,-b)$ ， $B_2(0,b)$ ， $F_2(c,0)$ ， $A_2(a,0)$ ，

所以 $\overrightarrow{B_2A_2}=(a,-b)$ ， $\overrightarrow{F_2B_1}=(-c,-b)$

因为 $\angle B_1PB_2$ 为钝角，所以 $\overrightarrow{B_2A_2}$ 与 $\overrightarrow{F_2B_1}$ 的夹角为锐角

所以 $\overrightarrow{B_2A_2}\cdot \overrightarrow{F_2B_1}=-ac+b^2>0$

即 $a^2-c^2-ac>0$

两边同时 $a^2$ 除以并化简得 $e^2+e-1<0$

解得 $\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2}<e<\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

又 $0<e<1$

所以 $0<e<\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

故选C.

【总结】根据 $\angle B_1PB_2$ 为 $\overrightarrow{B_2A_2}$ 与 $\overrightarrow{F_2B_1}$ 的夹角，并分别表示出 $\overrightarrow{B_2A_2}$ 与 $\overrightarrow{F_2B_1}$ ，由 $\angle B_1PB_2$ 为钝角， $\overrightarrow{B_2A_2}\cdot \overrightarrow{F_2B_1}=-ac+b^2>0$ ，利用椭圆的性质，可得到 $e^2+e-1<0$ ，即可解得离心率的取值范围．

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