级数

2020-06-02 本文已影响0人一米阳光给的温暖

函数展开幂级数

常用展开式：
$f(x)=e^x= \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \qquad \color{#F00}{定义域：-1<x<1}$

$f(x)=\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty{x^n}\qquad \color{#F00}{定义域：-1<x<1}$

$f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\cdot{x^n}\qquad \color{#F00}{定义域：-1<x<1}$

$f(x)=\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^n}{n}\qquad \color{#F00}{定义域：-1<x\leq1}$

函数展开也可以利用求导或积分进行变形，展开后再积分或求导还原。
积分过程需要注意 $f(x)-f(0)$ 中的 $f(0)$ 是否为0， $f(0)$ 计算将0代入原式中，而不是变形式中
注意：通过求导、积分变形后再还原的级数，需要验证收敛域是否改变。

将函数变形为常用展开式形式

将 $x$ 变形为 $x-x_0$ 的形式，通过提公因式、加减常数保持原式不变，使其形如常用展开式，然后计算。