线性代数2-线性组合

2019-12-10 本文已影响0人赵阳_c149

线性组合定义

一般来说，线性组合是指将标量与向量相乘，并将这些项相加。

当某个向量可以定义为其他向量的线性组合时，它们是一组线性相关的向量。

当一组向量中的每个向量都无法定义为其他向量的线性组合时，它们是一组线性不相关的向量。

判断一组向量是否为线性相关集合的最简单方式是采用行列式。

张成

如果 $\vec{v_1}$ , $\vec{v_2}$ ,....., $\vec{v_n}$ $\in$ $\mathbb{R}$ 那么，这些向量的张成（有时候也称为线性张成）是指这些向量的所有可能的线性组合。

从数学角度来讲，向量集合 $\vec{v_1}$ , $\vec{v_2}$ ,....., $\vec{v_n}$ 的张成表示为：

Sp( $\vec{v_1}$ , $\vec{v_2}$ ,....., $\vec{v_n}$ )

确定向量的张成

假设有一对向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ ，我们想要判断它们的张成中是否存在第三个向量 $\vec{t}$ ，表示 $\vec{t}$ 可以写成向量对 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 的线性组合。

可以表示为：

𝑎 $\vec{v}$ + 𝑏 $\vec{w}$ = $\vec{t}$ ，其中 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 分别乘以标量 𝑎 和 𝑏 ，然后相加生成向量 $\vec{t}$ 。

如果我们能够找到一组使上式成立的标量 𝑎 和 𝑏 ，那么 $\vec{t}$ 位于 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 的张成内。否则，如果没有使上式成立的标量 𝑎 和 𝑏 ，那么 $\vec{t}$ 不在它们的张成内。

实例

如果向量的值如下所示：
$\vec{v}$ = $\begin{bmatrix} 1\\3 \end{bmatrix}$
$\vec{w}$ = $\begin{bmatrix} 2\\5 \end{bmatrix}$
$\vec{t}$ = $\begin{bmatrix} 4\\11 \end{bmatrix}$

可以将 𝑎𝑣⃗ +𝑏𝑤⃗ =𝑡⃗ 重新写成：
𝑎 $\begin{bmatrix} 1\\3 \end{bmatrix}$ +𝑏 $\begin{bmatrix} 2\\5 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 4\\11 \end{bmatrix}$

在线性代数课程中，可以手动求解这个问题：使用简化的梯阵形式，并将上式重写为增广矩阵。我们在下面提供了上式的增广矩阵：
$\begin{bmatrix}1\ 2 \ |4\\ 3 \ 5 \ |11 \end{bmatrix}$

注意，增广矩阵的右侧包含向量 $\vec{t}$ 。我们要判断此向量是否位于另外两个向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 的张成内。我们要检查其张成的另外两个向量组成了增广矩阵的左侧。

求解简化的方程组

向量与标量的线性组合将延伸出以下这个重要概念： 线性方程组。
在这里，仅介绍有两个方程和两个变量的方程组。

在更宽泛的线性代数课程中，可以详细了解含有n 个线性方程的方程组，其中n可以是任何数字。

python演示

创建 NumPy 向量来表示增广矩阵的右侧

# Makes Python package NumPy available using import method
import numpy as np

# Creates matrix t (right side of the augmented matrix).
t = np.array([4, 11])

创建 NumPy 矩阵方法来表示增广矩阵的左侧

# Creates matrix vw (left side of the augmented matrix).
vw = np.array([[1, 2], [3, 5]])

# Prints vw and t
print("\nMatrix vw:", vw, "\nVector t:", t, sep="\n")

使用 NumPy 的 linalg.solve 函数检查向量是否位于另外两个向量的张成内
函数参数：
set_of_vectors 是增广矩阵的左侧。该参数表示你要检查其张成的向量集合（例如 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ ）。
vector_to_check 是增广矩阵的右侧。该参数表示检查是否位于向量 set_of_vectors 的张成内的向量。
返回的变量：
vector_of_scalars 包含将求解方程组的标量，前提是所检查的向量位于向量组的张成内。否则，它将是一个空向量。

def check_vector_span(set_of_vectors, vector_to_check):
    # Creates an empty vector of correct size
    vector_of_scalars = np.asarray([None]*set_of_vectors.shape[0])
    
    # Solves for the scalars that make the equation true if vector is within the span
    try:
        # TODO: Use np.linalg.solve() function here to solve for vector_of_scalars
        vector_of_scalars = np.linalg.solve(set_of_vectors, vector_to_check)
        if not (vector_of_scalars is None):
            print("\nVector is within span.\nScalars in s:", vector_of_scalars)
    # Handles the cases when the vector is NOT within the span   
    except Exception as exception_type:
        if str(exception_type) == "Singular matrix":
            print("\nNo single solution\nVector is NOT within span")
        else:
            print("\nUnexpected Exception Error:", exception_type)
    return vector_of_scalars

求解方程组的标量

# Call to check_vector_span to check vectors in Equation 1
print("\nEquation 1:\n Matrix vw:", vw, "\nVector t:", t, sep="\n")
s = check_vector_span(vw,t)

# Call to check a new set of vectors vw2 and t2
vw2 = np.array([[1, 2], [2, 4]]) 
t2 = np.array([6, 12])
print("\nNew Vectors:\n Matrix vw2:", vw2, "\nVector t2:", t2, sep="\n")    
# Call to check_vector_span
s2 = check_vector_span(vw2,t2)

# Call to check a new set of vectors vw3 and t3
vw3 = np.array([[1, 2], [1, 2]]) 
t3 = np.array([6, 10])
print("\nNew Vectors:\n Matrix vw3:", vw3, "\nVector t3:", t3, sep="\n")    
# Call to check_vector_span
s3 = check_vector_span(vw3,t3)

方程组的解

方程组的解始终是三种潜在情况之一。当向量位于张成内时，有一个解，如上面的示例所示。当向量位于张成内时，有一个解或无穷多解；当向量不在张成内时，无解。

情形 1 - 一个解
可以将之前的式子看做以下二元方程组：
𝑥+2𝑦=4
3𝑥+5𝑦=11
其中𝑥=2并且𝑦=1。
这意味着，当向量位于张成中时，方程组有一个解。用图形表示的话，这个唯一解是线相交的点（在下图中为红点）。

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot([4,0],[0,2],'b',linewidth=3)
plt.plot([3.6667,0],[0,2.2],'c-.',linewidth=3)
plt.plot([2],[1],'ro',linewidth=3)
plt.xlabel('Single Solution')
plt.show()

情形 2 - 无穷多解
第二种情形是标量值有无穷个，因为至少有两个方程是多余的。在我们的示例中，唯一的两个方程是多余的，它们表示同一条线。
𝑥+2𝑦=6
2𝑥+4𝑦=12
其中任何𝑥和𝑦都使该方程组成立，因为这两个方程是多余的。

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot([6,0],[0,3],'b',linewidth=5)
plt.plot([1,4,6,0],[2.5,1,0,3],'c-.',linewidth=2)
plt.xlabel('Redundant Equations')
plt.show()

情形 3 - 无解
第三种情形是没有标量值可以同时求解所有方程。在我们的示例中，唯一的两个方程表示为两条平行线，因为它们无解。
𝑥+2𝑦=6
𝑥+2𝑦=10
其中没有任何 𝑥 和 𝑦 可以使方程组成立。

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot([10,0],[0,5],'b',linewidth=3)
plt.plot([0,6],[3,0],'c-.',linewidth=3)
plt.xlabel('No Solution')
plt.show()

参考：
linalg