目录

1. 来源及介绍

2. 一开始我的想法

3. 再思考一下

4. 解惑

   注：本文在最后会为大家解释我们一开始的思考是在哪里出现了问题。

---

1. 来源及介绍

“假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？”

三门问题_百度百科

2. 一开始我的想法

• 在主持人开门前，P(我选中汽车的) = 1/3.（毋庸置疑且显而易见）
• 在主持人开门后，P(我选中汽车的) = 1/2.
  这时候我是这么想的，主持人打开了一扇有羊的门，那么剩下的两个门就是一羊一车，所以P(我选中汽车的) = 1/2。
  （记住这个最初的思路，后面要考的。）
• 这样，理所当然，我们是换不换都无所谓啦。

3. 再思考一下

既然遇到了这个问题，他一定没这么简单。所以，要么是我们的结果有问题，要么是有更好的解法。

我们换两种方法：

• 当我们转向另一扇门而不是维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

  有三种可能的情况，全部都有相等的可能性（1/3）：

  参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

  参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

  “参赛者挑汽车，主持人挑羊一号。转换将失败”，和“参赛者挑汽车，主持人挑羊二号。转换将失败。”此情况的可能性为：
  （1/3）*（1/2）+（1/3）*（1/2）=1/3。

• 假设我们永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

这两种方法都简而易懂，但是他们的结果和我们初次的结果却不一样，这是怎么回事呢？

4. 解惑

其实用枚举法可以很简单的得出答案：

枚举法

因为“羊”和“车”的字形有点像，我把“羊”用英文单词打出了。

• 其中的行（①，②，③）为可能的三种情况，而列（门1，门2，门3）为三个门。
• 假设我们最初选择了门1。
• 可以发现，如果主持人要开另两扇门中的一扇（比如门3的话），是不现实的。因为，门3在③中是车，这与题意相悖。

所以，主持人开的是有羊的门，那么比如这样：

开了一扇有羊的门

• 其中，蓝色代表在其所有可能性中（在①，②，③中）主持人开的有羊的门。

再简化一下：

简化版

• 这样看，我们换门得到车的概率才大嘛!

看到这里，大家意识到我们最初的错误在哪里了吗？

再来张图： image.png

• 可以看到，橙色部分是我们得到最初的二分之一的关键。
• 在我们的选择中，我们直接把门3去掉了，这种去掉是随意的去掉另两扇门中的任一扇门。
• 这时候我们下意识的忽略了在③中门 3有车的可能。
• 我们下意识的把我们在计算中去掉的门3和主持人打开的有羊的门3混为一谈了。

• 所以这种错误是把【主持人随意打开了另两扇门中的一个】与【主持人开的一定是有羊的门】的情况无意识间搞混了。
• 其中,【主持人随意开了另两扇门中的一个】与【主持人开了有羊的门之后，把另两扇门打乱，我们再次选择门】的概率是相同的，都为二分之一。