角动量（by小毅）

2019-03-16 本文已影响0人暮北呀

例子：一般运动的角动量（径向运动，切向运动）

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刚体的角动量
1.刚体：在任何力的作用下，体积和形状都不发生改变的物体叫做刚体，即各位置的角速度相同
2.将刚体视为无数多个无限小的质量元组成，在刚体上任取一质元 $\Delta m_i$ ,此质元到转轴的位矢为 $\vec {r}$ ,当刚体以角速度 $\omega$ 转动时有 $\Delta \vec{L_i}=\vec{r_i}\times \Delta m_i$ ,所以整个刚体的角动量为 $\vec{L}= \sum \Delta \vec{L}_i=\sum \Delta m_i r_i^2 \omega=J \omega$
转动惯量为上式的 $J$
若刚体的转动惯量是连续分布的则有 $J=\int r ^2dm$
$J=\sum \Delta m_i r^2_i$
类比法理解平动与转动
平动（当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫做"平动"。【解释】: 运动物体上任意两点所连成的直线，在整个运动过程中，始终保持平行，这种运动叫做"平动"。例如升降机的运动，汽缸中活塞的运动）
$在平动中有，动量p=mv,E_k=\frac{1}{2}mv^2$
$在转动中有，动量L=J\omega ,E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$

努力建立直观图像比记忆公式更能培养你的能力。“角动量的大小”代表转动的趋势：角动量越大，代表转动趋势越大；角动量为零，代表没有转动。则图中，角动量最大的运动(这四个速度，大小相等、方向不同)是

解答：把速度沿着法向(半径方向)和切向(转动方向)分解，切向分量代表转动。
类似图二， $将\vec {v}_2分解成\vec {v}_1和\vec {v}_3$

角动量的数学定义是 $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$ 。(1)直观法：先找到转动趋势的方向，拿出右手，按照转动的方向握好，大拇指的方向就是角动量的方向。(2)矢量叉乘法：首先， $\vec{r}$ 和 $m\vec{v}$ 构成了一个平面， $\vec{L}$ 的方向必然垂直于该平面。拿出左手，四指从 $\vec{r}$ 到 $m\vec{v}$ 握过去(锐角)，大拇指的方向就是角动量的方向。关于这些说法，正确的是

解答：右手!右手!右手!重要的事情说三遍。
巧妙方法：直接右手捏住转动的方向
可以从转动点出发，掏出右手顺着运动半径方向，四指弯向转动反向，大拇指方向则是角动量方向

解答：
动量为0
角动量越来越大

解答：
$L=rmv$

请借助与平动类比：平动的动量为质量和速度之积。某刚体的转动惯量为 $J$ ，角速度为 $\omega$ ，则角动量的大小、转动动能的大小(请借助类比法猜测)分别为

解答：平动：质量，速度，动量，动能分别与转动的转动惯量，角速度，角动量，转动动能是对应的。公式很神似。
$在平动中有，动量p=mv,E_k=\frac{1}{2}mv^2$
$在转动中有，动量L=J\omega ,E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$

转动惯量的公式是 $J=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}$ 。结合该公式，请思考图中(四个小球质量相同，用轻杆相连，构成一个刚体)各种情形下转动惯量的大小

解答：转动惯量的大小与各个质元与轴的距离有关。质量分布离轴越远，转动惯量越大。

关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是
- 只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关
- 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关；
- 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置
- 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。

解答： $J=mr^2$ $\$ $\$ $(3)$