学习笔记 | 终于搞懂σ-域！

2021-03-09 本文已影响0人三金姐姐

©统计炖鸡汤

摘要

σ-域的概念在概率论的理论研究中是极其重要的.

先引入σ-域的概念，如下,

1 σ-域的性质

1.1 基本性质

了解了概念后，我们需要知道σ-域的一些性质.首当其冲的是它的必要条件，如下,

1.2 σ-域中元素的个数

计算σ-域中元素的个数是一类常见问题.我们先研究一类非常特殊的σ-域的元素个数.这类特殊的集合，就是分割. ^[1]

一般场合，若分割D由n个事件组成，则其产生的事件域σ(D)共含有

2^n

个不同的事件.分割行动常在一些问题的研究中被采用，它可使事件域得以简化.（只考虑一切可能的并及空集∅组成的事件域）
下面我们证明如下命题，^[2]

题目：设样本空间S包含n个元素，证明：S的元素总能构造 $2^n$ 个S的子集.

归纳一下.如果S有限或者可数，我们直接定义B={S的全体子集，包括S本身}.若S包含n个元素，则B包含 $2^n$ 个集合.当S不可数时，选取B使其包含所有重要的集合.如，设S=(-∞,∞)为实数轴，令B包含全体形如[a,b],(a,b],(a,b)和[a,b)的集合，其中a,b为任意实数.此外，根据B的性质可知，B还包含由上述集合经过（可数无穷次）并、交运算所得的集合.

题目：假设随机事件A,B都既不是不可能事件也不是必然事件，并且 $A≠B,\overline{\text{A}}≠B$ ，包含随机事件A,B的最小σ-域中元素的个数为（8）.

解：要想求解此问题，首先我们要知道样本空间是怎么样的.这里先引入两个概念，样本空间是随机现象的一切可能基本结果组成的集合，随机事件是随机现象的某些样本点组成的集合（简称事件），样本空间Ω的最大子集（即Ω本身）称为必然事件，样本空间的Ω的最小子集（即空集∅）称为不可能事件.
这里由 $A≠B$ 可得样本空间的元素至少是2.再由 $\overline{\text{A}}≠B$ 可得样本空间不能只包含A,B，至少还得有1个元素.综上可知，样本空间至少有3个元素，那么最小σ-域中元素的个数就为8.

2 基于σ-域的严格数学定义

清楚了σ-域的概念，我们就可以定义概率论中很多基本的概念了.

2.1 概率的严格数学定义

σ-域到R的映射P，称为事件的概率，是一个0，1之间的数.P是Ω上的关于σ-域的测度.σ-域中元素称为P可测集（可测），这里的可测是指σ-域中都是有概率可言的事件.

2.2 随机变量的严格数学定义

概率的定义里引出了概率空间，进一步可以定义随机变量了.随机变量是用来表示随机现象结果的变量.简单地说，随机变量是样本空间上的一个（可测）函数，也就是说给每个事件赋一个数值，做一个随机试验后，随机变量便取定一个值.它严格的定义如下，^[3]

2.3 博雷尔集

博雷尔集是重要的σ-域的例子.

2.4 集函数

给出集函数概念前先引入广义实数集.在实数集R中再加入元+∞和-∞，称 $\overline{\text{R}}=[-∞,+∞]$ .^[4]
设Ω是非空集合，F是Ω的某些子集为元素构成的集合，称为Ω的一个集类.μ为F到 $\overline{\text{R}}$ 上的函数，则称μ为F上的集函数.

茆诗松,程依明,濮晓龙，概率论与数理统计教程（第二版），高等教育出版社. ↩
（美）George Casello Roger L.Berger，统计推断（翻译版原书第2版），机械工业出版社出版的图书. ↩
应坚刚, 何萍, 概率论（第二版）, 博学数学系列, 复旦大学出版社, 2015年8月. ↩
上海财经大学数学学院，实变函数，上海财经大学出版社，2018年2月. ↩