微积分学习笔记-不定积分、微分方程和建模

2019-11-25 本文已影响0人 LonnieQ

给出函数f的所有的反导数的公式是不定积分。根据中值定理，我们只要找到一个反导数，就可以找到所有反导数。

求反导数：不定积分

定义一个函数的反函数

一个函数F(x) 是另一个函数f(x)的反导数，如果
$F'(x) = f(x)$
f的全体反导数组成的集合叫做不定积分，记作
$\int_{}{}f(x)dx$
其中 $\int$ 称为积分号，函数f为积分的被积函数, x为积分变量。

我们有一个f的反导数F, 其他原函数和这个反导数只差一个常数。我们用以下公式表明这种关系
$\int_{}{} f(x) dx = F(x) + c$

例1 计算 $\int_{}{}2xdx$

$\int2xdx = x^2 + C$

积分公式

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\int dx = x + C$
$\int sin(ks) dx = -\frac{cos(ks)}{k} + C$
$\int sec^2 (x) dx = tan(x) + C$
$\int csc^2(x)dx = -cot(x) + C$
$\int sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C$
$\int csc(x) cot(x) dx = - csc(x) + C$

例2 求积分

$(a). \int x^5 dx = \frac{x}{6} + C$
$(b). \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \int x ^{-1/2} dx = 2 x^{1/2} + C = 2 \sqrt{x} + C$
$(c). \int sin(2x)dx = \frac{cos(2x)}{2} + C$
$(d). \int cos\frac{x}{2}dx.= \int cos(\frac{x}{2})dx = \frac{sin(x/2)}{1/2} + C = 2sin(\frac{x}{2}) + C$

建模步骤

步骤1. 观察现实世界行为
步骤2. 为确定变量及其关系做假设，建立模型
步骤3. 求解模型得到数学解
步骤4. 解释模型并将其与现实世界的观察对比

例3 一个包裹从气球上掉落，气球当时离地80英尺，正以12英尺每秒速度上升。多长时间该包裹掉落地面?

设时刻t的时候包裹速度为v(t), 离地高度为s(t). 重力加速度为32英尺/秒. 有
$\frac{dv}{dt} = -32$
$\int \frac{dv}{dt} dt = \int -32 dt$
$v = -32t + C$
由于 $v(0) = 12$ , C = 12.
则
$v = -32t + 12$
$\frac{ds}{dt} = -32t + 12$
$\int \frac{ds}{dt} = -16t^2 + 12t + C$
由于s(0) = 80, 有
C = 80.
则距离函数为
$s(t) = -16t^2 + 12t + 80$
当包裹到达地面时，
$-16t^2 + 12t + 80 = 0$
则 $t =\frac{-3\pm\sqrt{329}}{-8}$
由于负根无意义，则 $t =\frac{-3-\sqrt{329}}{-8} = 2.64$