高中奥数 2022-03-19

2022-03-19 本文已影响0人不为竞赛学奥数

2022-03-19-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P057 习题13）

设 $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ ,且满足 $abc=1$ ,求证:
$\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leqslant 1.$

证明

令 $a=\dfrac{x}{y}$ , $b=\dfrac{y}{z}$ , $c=\dfrac{z}{x}$ ,且 $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ ,则原不等式等价于
$\left(\dfrac{x}{y}-1+\dfrac{z}{y}\right)\left(\dfrac{y}{y}-1+\dfrac{x}{z}\right)\left(\dfrac{z}{x}-1+\dfrac{y}{x}\right)\leqslant 1,$
即 $\left(x-y+z\right)\left(y-z+x\right)\left(z-x+y\right)\leqslant xyz$ .

$x-y+z$ , $y-z+x$ , $z-x+y$ 中任意2个之和 $>0$ ,故至多只有1个 $\leqslant 0$ .

(1)若其中恰有1个 $\leqslant 0$ ,结论显然成立.

(2)若每个都 $>0$ ,由于 $\left(x-y+z\right)\left(y-z+x\right)\leqslant x^{2}$ , $\left(x-y+z\right)\left(z-x+y\right)\leqslant z^{2}$ , $\left(y-z+x\right)\left(z-x+y\right)\leqslant y^{2}$ ,相乘即得不等式成立.

2022-03-19-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P057 习题14）

设 $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ ,求证:
$\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geqslant 1.$

证明

记 $x=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}$ , $y=\dfrac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}$ , $z=\dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-8ab}}$ , $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ ,则
$\left(\dfrac{1}{x^{2}}-1\right)\left(\dfrac{1}{y^{2}}-1\right)\left(\dfrac{1}{z^{2}}-1\right)=512.$
反设 $x+y+z<1$ ,则 $0<x,y,z<1$ ,故
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{x^{2}}-1\right)\left(\dfrac{1}{y^{2}}-1\right)\left(\dfrac{1}{z^{2}}-1\right)&=\dfrac{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)\left(1-z^{2}\right)}{x^{2} y^{2} z^{2}}\\ &>\dfrac{\left[(x+y+z)^{2}-x^{2}\right] \cdot\left[(x+y+z)^{2}-y^{2}\right] \cdot\left[(x+y+z)^{2}-z^{2}\right]}{x^{2} y^{2} z^{2}} \\ &=\dfrac{(y+z+x+x)(y+z)(x+y+y+z)(x+z)(x+y+z+z)(x+y)}{x^{2} y^{2} z^{2}} \\ &\geqslant \dfrac{4 \sqrt[4]{x^{2} y z} \cdot 2 \sqrt{y z} \cdot 4 \sqrt[4]{x y^{2} z} \cdot 2 \sqrt{x z} \cdot 4 \sqrt[4]{x y z^{2}} \cdot 2 \sqrt{x y}}{x^{2} y^{2} z^{2}}\\ &=512, \end{aligned}$
矛盾!

因此 $x+y+z\geqslant 1$ .

注:也可以先证明: $\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+8 b c}} \geqslant \dfrac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}$ 等.进而易证得不等式成立.

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