论文中的运算符号

2021-06-14  本文已影响0人  ltochange

向量点乘

向量的点乘，也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。

对于向量a和b，A=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}\right] \quad，B=\left[b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}\right] \quad

{A} \cdot {B}=\sum a_{i} b_{i}
或者：
{A} \cdot {B}=|{A} \| {B}| \cos \theta

向量叉乘

向量的叉乘，也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。以三维向量为例

A\times B =\left|\begin{array}{lll} i & j & k \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=\left(a_{2} b_{3}-b_{2} a_{3} \right) i-\left(a_{1} b_{3}-b_{1}a_{3} \right) j+\left(a_{1} b_{2}-b_{1}a_{2}\right) k

其中: i=(1,0,0) \quad \mathrm{j}=(0,1,0) \quad \mathrm{k}=(0,0,1)

张量（矩阵）点乘

张量（矩阵）的点乘，又叫哈达马积（Hadamard product），矩阵对应位置的元素相乘

m \times n 矩阵 A=\left[a_{i j}\right] 与 m \times n 矩阵 B=\left[b_{i j}\right] 的Hadamard积记作 A * B 。

其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积 (A * B)_{i j}=a_{i j} b_{i j} ，例如
\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right) *\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 2 \cdot 2 \\ 1 \cdot 7 & 0 \cdot 5 & 0 \cdot 0 \\ 1 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 4 \\ 7 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right)

张量（矩阵）克罗内克乘积

克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，也叫直积或张量积。计算过程如下例所示:
\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right)

拼接

张量（矩阵）的拼接可以按照不同的维度拼接

按照第一维度拼接：

\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right)\oplus\left(\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ \end{array}\right)

按照第二维度拼接：

\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}\right)\oplus\left(\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right)

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