线性代数笔记14

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第十四节

向量的正交 orthogonal

空间的维数，左边r，n-r，右边r，m-r

左边的两个空间正交，右边的两个空间正交

正交是垂直（perpendicular）的另一种说法

向量的正交

点乘
$x^Ty=0\\ x_1y_1+x_2y_2=0$

空间的正交

空间 $S$ 正交于空间 $T$
则每个空间 $S$ 中的向量都和每个 $T$ 中的向量正交

定理

行空间正交与零空间
why？
$Ax=0$

$\begin{bmatrix}A的第1行\\ A的第2行\\ ...\\ ...\\ A的第m行\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\ \\ x\\ \\ \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$
则
$c_1(第1行)^Tx=0\\ c_2(第2行)^Tx=0\\ ...\\ c_m(第m行)^Tx=0$

$c_1(第1行)^Tx+ c_2(第2行)^Tx+ ...+ c_m(第m行)^Tx=0$
得证

所以，行空间和零空间的维数是互补的

正交基

当 $Ax=b$ 无解的时候，怎么去“解”方程
即b不在A的列空间内

当A是一个长方矩阵时，这很常见，方程数m大于未知数个数n
当方程数很多时，右侧难免会混入“坏数据”，将坏数据剔除，得到最优解，这就是线性代数的需要解决的问题

"坏"方程变成 "好"方程两边都乘以 $A^T$
$A^TA \hat x=A^Tb$

$A^TA$ 是可逆的，当且仅当（exactly if）A的各列线性无关（has independence columns）
证明在下节。

线性代数笔记14

第十四节

向量的正交 orthogonal

向量的正交

空间的正交

正交基

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