卡尔曼滤波器

卡尔曼滤波器

姓名：李嘉蔚学号：16020520034

【嵌牛导读】：本帖讲一讲如何直观的理解卡尔曼滤波器，因为著名的五大公式一点都不直观。

【嵌牛鼻子】：卡尔曼滤波器。五大公式。

【嵌牛提问】：如何推导五大公式？

【嵌牛正文】：

我们先把卡尔曼滤波器什么的先抛在一边，想一想传感器的问题。我们知道，传感器总是会有一些误差，好的传感器误差小一些，差的传感器误差大一些，而且误差一般可以理解为服从正态分布。

所以我们可以把传感器看成服从某个正态分布的随机变量。

当我们手上仅有一个传感器的时候，可以多做几次测量取平均值，因为噪声加噪声还是一倍的噪声，真实值加真实值是两倍的真实值，再除以二，真实值恢复为一倍，噪声变弱0.5倍。也可以这么理解：

卡尔曼滤波器

可见方差变小了

要是手上有两个传感器呢？

卡尔曼滤波器

我们一般会给两个传感器各分一个权重：【图片】

卡尔曼滤波器

这样，x^也是个服从正态分布的随机变量：【图片】

卡尔曼滤波器

与上一楼一样，我们希望其方差最小，要这么算：【图片】

卡尔曼滤波器

这样我们得到了最优解

接上楼，我们用P表示随机变量的方差，再把上面两个式子变一下形式：【图片】

卡尔曼滤波器

总结一下，若是两个传感器的方差可以知道或者脑部出贴近的，则按照下面两个式子，可以计算出最优的值，以及该值的方差。

好了，下面来看一看另一个问题：现在确实只有一个传感器，怎么办？呵，如果我们还能知道系统的方程，就可以从数学上推断一个值，这个值与传感器得到的值不相关，那么上楼的公式就可以套用。

我们看简单地线性系统，它的系统方程与传感器方程假设如下：【图片】

卡尔曼滤波器

其中H非奇异。

现在我们把x的两个估计值给出来：【图片】

卡尔曼滤波器

然后看看它们的分布：【图片】

卡尔曼滤波器

OK！这下满足公式要求了，我们把这两个式子带入4楼的公式（W,V用来表示系统的噪声，在这里不带入）：【图片】

卡尔曼滤波器

恭喜！原始的卡尔曼滤波器出现了！只要源源不断用Xk^替代Xk-1,P(Xk^)替代P(xk-1)，就能一直预测下去了。

这一楼我们把上楼的“朴素公式“变成五大公式。

首先，处理一下H的逆，那一大坨分式上下同时左乘H，右乘H的逆：【图片】

卡尔曼滤波器

把分子的H提出来（注意分式是个数字，所以H与剩下的可交换）：【图片】

卡尔曼滤波器

我们用Kg(k)来表示剩下的一大坨（嗯，人们都叫它”卡尔曼增益“）同时处理一下括号里的H的逆：【图片】

卡尔曼滤波器

继续替代括号里的复杂玩意：【图片】

卡尔曼滤波器

呵，五大公式出现了！