近世代数理论基础24：整环中的因子分解

2019-03-02 本文已影响20人溺于恐

整环中的因子分解

给定整环D

整除

定义：设 $a,b\in D$ ,若 $\exists c\in D$ ,使 $b=ac$ ,则称a整除b,或称a是b的因子,b是a的倍元,记作 $a|b$ ,若a不能整除b,记作 $a\nmid b$

单位

定义：设 $u\in D$ ,若 $u|1$ ,则称u为D的一个单位,若 $\exists 单位u\in D$ , $a,b\in D$ ,使 $a=bu$ ,则称a,b为相伴的,记作 $a\sim b$

注：

1.D中的单位和D中的可逆元是一样的,单位和单位元1不同

2.易证D中元的相伴关系是D中的一个等价关系

3.D中元u是一个单位 $\Leftrightarrow u\sim 1$

4.单位是D中任意元的因子,对 $a\in D$ , $ua$ (u为单位)必是a的因子

例：Z中有且仅有两个单位,1和-1,n的相伴元只有n和-n

真因子

定义：单位及元c的相伴元称为c的平凡因子,c的其他因子称为c的真因子

例：设 $f(x)=x^2-3x-4\in Q[x]$ ,则 $f(x)=3({1\over 3}x^2-x-{4\over 3})=(x-4)(x+1)$

3不是f(x)的真因子(Q中任一不为0的数都是单位), $x-4$ 和 $x+4$ 都是f(x)的真因子

设 $g(x)=3(x^2-2x+1)=3(x-1)(x+1)$

$3,x^2-2x+1,x-1$ 都是g(x)的真因子

不可约元与素元

定义：设 $a,b\in D,p\in D$ ,p是D中一个不为0也不是单位的元,若p没有真因子,则称p是不可约元,若当 $p|ab$ 时,可推出 $p|a$ 或 $p|b$ ,则称p为素元

注：若p是一个不可约元, $p=ab$ ,则a和b中必有一个是单位

定理：在整环D中,任一素元都是不可约元

证明：

$设p是D的素元,a为p的因子,且p=ab$

$则p|ab$

$由素元的定义$

$p|a或p|b$

$若p|a,则\exists u\in D,使$

$a=up$

$代入p=ab可得$

$p=p(ub)$

$消去p可得1=ub$

$\therefore b为单位$

$同理,若p|b,则a为单位$

$\therefore p没有真因子$

$即p是一个不可约元\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：在整环中,不可约元不一定是素元

例：设 $D=\{a+b\sqrt{-5}||a,b\in Z\}$ ,易证D对复数的加法和乘法构成一个整环

设 $u=a+b\sqrt{-5}$ 是D的单位,则 $\exists v\in D$ ,使 $1=uv$ ,两边取复数的模可得 $|u|^2=a^2+5b^2=1$

故 $b=0,a=\pm 1$ ,因此D中的单位只有 $\pm 1$

下证3是D中的不可约元

设 $3=uv$ ,两边取复数的模得 $q=|u|^2|v|^2$ ,若 $u,v$ 都不是单位,只能有 $|u|^2=3$ ,设 $u=a+b\sqrt{-5}$ ,则 $a^2+5b^2=3$ ,方程在Z中显然无解,故3是不可约元

$3|9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$ ,但 $3\nmid 2+\sqrt{-5},3\nmid 2-\sqrt{-5}$ ,故3不是素元

最大公因子

定义：设 $a,b\in D$ ,若 $\exists d\in D$ 满足

1. $d|a,d|b$

2.若有 $d’\in D$ , $d’|a,d’|b,则d’|d$

则称d是a和b的最大公因子,记作 $(a,b)$

注：对多于两个元的情况可类似定义最大公因子

设 $a,b\in D$ ,若 $(a,b)\sim 1$ ,则称 $a$ 与 $b$ 互素

由最大公因子的定义,易证下列关于最大公因子和互素的性质：

1.若d是a,b的最大公因子,则d的相伴元也是a,b的最大公因子,a,b的任意两个最大公因子都是相伴的

2. $(a,(b,c))\sim ((a,b),c)$

3. $c(a,b)\sim (ca,cb)$

4.若 $(a,b)\sim 1,(a,c)\sim 1$ ,则 $(a,bc)\sim 1$

证明：

$4.由(a,b)\sim 1,c(a,b)\sim (ca,cb)$

$(ac,bc)\sim c$

$易知(a,ac)\sim a$

$由(a,(b,c))\sim ((a,b),c)$

$(a,bc)\sim ((a,ac),bc)\sim (a,(ac,bc))\sim(a,c)\sim 1$

$\therefore (a,bc)\sim 1\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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