样本方差为何除以n-1

2019-04-22 本文已影响6人 9933fdf22087

1.设样本均值为 $\bar{X}$ ，样本方差为 $S^2$ ，总体均值为 $\mu$ ，总体方差为 $\sigma^2$ ，那么样本方差 $S^2$ 的公式为： $S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{X}\right)^{2}$

2.概率补充

（1）为何样本均值的方差等于总体方差除以总体单位数？

答：设X为随机变量，X1,X2,...,Xn为其n个样本，D(X)为方差。根据方差的性质，有 $D(X+Y)=DX+DY$ ，以及 $D(kX)=k^2*D(X)$ ,其中X和Y相互独立，k为常数。于是有 $D(\frac{\sum\nolimits_{i=1}^nX_i}{n} )=D(\sum\nolimits_{i=1}^n \frac{X_i}{n})=\frac{\sum_{i=1}^{n}D(X_i)}{n^2} =\frac{1}{n}D(X)$

3.公式证明

假设样本方差的公式为: $S_{1}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}$ ,有

$E\left(S_{1}^{2}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu+\mu-\overline{X}\right)^{2}\right)$ $=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-2\left(X_{i}-\mu\right)(\overline{X}-\mu)+(\overline{X}-\mu)^{2}\right)\right)$ $=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-2 \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)(\overline{X}-\mu)+n(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$ $=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-2 n(\overline{X}-\mu)(\overline{X}-\mu)+n(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$ $=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$ $=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n} E\left(\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\right)-n E(\overline{(X}-\mu)^{2})\right)$ $=\frac{1}{n}(n \operatorname{Var}(X)-n \operatorname{Var}(\overline{X}))$ $=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(\overline{X})=\sigma^{2}-\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{n-1}{n} \sigma^{2}$ 样本方差有偏是因为样本均值相对总体有偏，在这种情况下，样本方差比总体方差小1/n个总体方差，所以分母为n-1即可做到无偏。

样本方差为何除以n-1

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