直线的方程与性质

2020-03-17 本文已影响0人人间正道是数学

本文介绍计算几何中常用的直线方程和直线性质。下面用圆括号(x,y)表示点的坐标，用方括号[x,y]表示方向矢量。

一、平面直线

1. 两点式

过两点 $(x_a,y_a)$ 和 $(x_b,y_b)$ 的直线方程是：
$x(y_a-y_b) + y(x_b-x_a) + x_ay_b - x_by_a = 0$

2.点向式

过点 $(x_0,y_0)$ 且平行于 $[l_x,l_y]$ 的直线方程是：
$l_yx - l_xy + l_xy_0 - l_yx_0 = 0$

3.点法式

过点 $(x_0,y_0)$ 且垂直于 $[n_x,n_y]$ 的直线方程可由 $[ l_x,l_y]=[-n_y,n_x]$ 得到：
$n_xx + n_yy - n_xx_0 - n_yy_0 = 0$

4.角距式

设法向的方向角为θ，原点到直线的距离为ρ。由点法式可推出直线方程为：
$x\cos θ + y\sin θ = ρ$

5.一般式

上述直线方程都可以写成一般式：
$Ax+By+C=0$

6.参数方程

过点 $(x_0,y_0)$ ，倾角α为直线方程为：
$\begin{cases} x=x_0 + \cosα\ t \\ y=y_0 + \sinα\ t \end{cases}$

二、直线性质

1.点到直线的距离

点 $(x_0,y_0)$ 到直线的距离为：
$d = \frac {|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

两条平行线 $Ax+By+C_1=0$ 和 $Ax+By+C_2=0$ 的距离为：
$d = \frac {|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

所以 $Ax+By+C=0$ 可以看作是过原点的直线 $Ax+By=0$ 平移了 $d = \frac {|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ，并且垂直于点(A,B)和原点之间的连线。

2.归一化

取 $a=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, b=\frac {B}{\sqrt{A^2+B^2}}, c=\frac {C}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ，可得归一化的一般式方程：
$ax+by+c=0$
点 $(x_0,y_0)$ 到直线的距离为：
$d = |ax_0+by_0+c|$

3.两条直线的夹角

两条直线 $A_1x+B_1y+C_1=0$ 和 $A_2x+B_2y+C_2=0$ 的倾角分别为α和β，夹角θ=α-β的计算方法如下：
$tan(α-β) = \frac{tanα - tanβ}{1 + tanα\cdot tanβ} = \frac{A_2B_1-A_1B_2}{A_1A_2+B_1B_2}=\frac{|\vec{l_1}|\cdot|\vec{l_2}|sinθ}{|\vec{l_1}|\cdot|\vec{l_2}|cosθ}=tanθ$

4.直线的交点

4.1 两条直线的交点

将两个直线方程联立，得到一个方程组：

$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2=0 \end{cases}$

可以解出交点坐标为： $x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{A_1B_2-A_2B_1}$ , $y=\frac{A_2C_1-A_1C_2}{A_1B_2-A_2B_1}$ .
当 $A_1B_2-A_2B_1=0$ 时，两条直线平行，或者说交点在无穷远处。

4.2 多条直线的交点

当多条直线不严格地交于一点时，找一个点使得点到这些直线的距离平方和最小。

设直线方程为 $a_ix+b_iy=c_i$ ，并且 $a_i^2+b_i^2=1$ 。点(x,y)到直线的距离为 $|a_ix+b_iy-c_i|$ ，最小化 $\sum{(a_ix+b_iy-c_i)^2}$ 正好是方程组 $a_ix+b_iy=c_i$ 的最小二乘解，由 $A^TAx=A^Tb$ 可得：

$\begin{bmatrix} \sum{a_i^2} & \sum{a_ib_i}\\ \sum{a_ib_i} & \sum{b_i^2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sum{a_ic_i} \\ \sum{b_ic_i} \end{bmatrix}$

若直线方程为 $a_ix+b_iy+c_i=0$ ，上述方程组则相当于求直线 $\sum{a_i^2}x+\sum{a_ib_i}y+\sum{a_ic_i}=0$ 和 $\sum{a_ib_i}x+\sum{b_i^2}y+\sum{b_ic_i}=0$ 的交点。

5.点到直线的垂足

联立直线ax+by+c=0和过点(m,n)的垂线：
$\begin{cases} ax+by+c=0 \\ bx-ay-bm+an=0 \end{cases}$
可得垂足坐标为： $(\frac{b^2m-abn-ac}{a^2+b^2}, \frac{a^2n-abm-bc}{a^2+b^2})$

6. 点关于直线的对称点

点(m,n)到关于直线ax+by+c=0的对称点的有向距离为 $d =\frac{2(am+bn+c)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ，连线的单位方向为 $[ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}]$ .
对称点坐标为 $(m-\frac{2a(am+bn+c)}{a^2+b^2}, n-\frac{2b(am+bn+c)}{a^2+b^2})$ .

7.拟合直线

给定n个点，拟合一条直线使得这些点到该直线的距离平方和最小。

7.1 直接线性变换法

假设直线的系数为(a,b,c)，将点的坐标代入可以得到一组线性方程：
$\begin{gathered} ax_1 + by_1 + c = 0 \\ ax_2 + by_2 + c = 0 \\ ... \\ ax_n + by_n + c = 0 \end{gathered}$
写成矩阵形式为：
$\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ | & | & | & \\ x_n & y_n & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}=Av=0$

当点的个数≤3时，可以求矩阵A的零向量得到拟合的直线；
当点的个数>3时，可以求 $A^TA$ 的最小本征值对应的本征向量作为拟合的结果。

直接线性变换法的本质是在3维空间拟合一个过原点的平面ax+by+cz=0，使得样本点(xᵢ,yᵢ,1)投影到该平面法线方向上的长度平方和∑(axᵢ+byᵢ+c)²最小，拟合的直线为该平面与z=1平面的交线，所以并不能最小化点到直线的距离平方和。

7.2 最小二乘法，最小化点到直线的竖直距离

设 y=ax+b，最小化 S(a,b)=∑(axᵢ+b-yᵢ)²。
写成矩阵形式为：

$\begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ x_2 & 1 \\ | & | & \\ x_n & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ | \\ y_n \end{bmatrix}$

记为 $Av=u$ .

用最小二乘法可得 $v=(A^TA)^{-1}A^Tu$ .

还有一种推导是用偏微分求极值：
$\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial b}S=2∑(axᵢ+b-yᵢ)=0 \implies b=\frac{1}{n}(∑yᵢ-a∑xᵢ)\\ &\implies b=\overline{y}-a\overline{x} \\ &\frac{\partial}{\partial a}S=2∑(axᵢ+b-yᵢ)xᵢ=0 \implies ∑(axᵢ+\overline{y}-a\overline{x}-yᵢ) = 0 \\ &\implies a=\frac{∑(yᵢ-\overline{y})xᵢ}{∑(xᵢ-\overline{x})xᵢ} \\ &=\frac{∑(xᵢyᵢ-n\overline{x}\overline{y})}{(∑xᵢ^2)-n\overline{x}^2}=\frac{(∑xᵢyᵢ)-2n\overline{x}\overline{y}+n\overline{x}\overline{y}}{(∑xᵢ^2)-2n\overline{x}\overline{x}+n\overline{x}^2}\\ &=\frac{∑xᵢyᵢ-∑xᵢ\overline{y}-∑\overline{x}yᵢ+∑\overline{x}\overline{y}}{∑xᵢ^2-2∑xᵢ\overline{x}+∑\overline{x}^2}\\ &\implies a=\frac{∑(xᵢ-\overline{x})(yᵢ-\overline{y})}{∑(xᵢ-\overline{x})^2} \end{aligned}$

最小二乘法最小化 y 坐标到直线的竖直距离的平方和，且不适用于 x=c 的直线。

7.3 主成分分析法，最小化点到直线的垂直距离

先计算n个点的中心点的坐标（x₀,y₀），即x坐标和y坐标的平均值。
各个点到中心点的差值组成一个矩阵：
$A=\begin{bmatrix} x_1-x_0 & y_1-y_0 \\ x_2-x_0 & y_2-y_0 \\ | & | & \\ x_n-x_0 & y_n-y_0 \\ \end{bmatrix}$
计算 $S=\dfrac{A^TA}{n-1}$
求S的本征值和本征向量，最大的本征值对应的本征向量就是拟合直线的方向，即“主成分”。另一个本征向量的方向垂直于直线方向，使得点到直线的垂直距离和最小，同时这个较小的本征值就等于点到直线的距离的方差。

根据拟合直线的方向和中心点坐标，可求出直线的方程系数。

8. 线性组合

两条直线 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 的线性组合：
$(λa_1+(1-λ)a_2)x + (λb_1+(1-λ)b_2)y +(λc_1+(1-λ)c_2) = 0$
是通过这两条直线的交点的一簇直线。

两个点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 的线性组合 $(λx_1+(1-λ)x_2, λy_1+(1-λ)y_2)$ 是过这两点的直线上的点。

三、空间直线

1. 两点式

经过点a和b的直线为： $x=a+λ(b-a)$

2. 两向式

直线方向为m，过原点和直线的平面法向为n，直线方程为： $x \times m = n$

3. 点向式

过点a，方向为n的直线为： $x=a+λn$

4. 点到直线的距离

点b到直线 $x=a+λn$ 距离是b-a与n组成平行四边形，以n为底求高：
$d = \frac{|(b-a) \times n|}{|n|}$

5. 两条直线的距离

两条异面直线 $x=a+λp$ 和 $x=b+µq$ 最短距离是三个向量组成的平行六面体的高：
$d = \frac{1}{|p \times q|} \det\begin{bmatrix} b-a \\ p \\ q \end{bmatrix}$
距离最近处的连线同时垂直与这两条直线，所以
$\begin{gathered} (a+λp - b-µq) \cdot p= 0\\ (a+λp - b-µq) \cdot q= 0 \end{gathered} \implies \begin{gathered} λp \cdot p - µq \cdot p = (b-a) \cdot p\\ λp \cdot q - µq \cdot q= (b-a) \cdot q \end{gathered}$
这个方程等价于将 $λp - µq = b - a$ 写成矩阵形式后求最小二乘解。
解出λ和µ，就可以得到两条直线上距离最近的两个点，这两个点的中点可视作两条直线的交点。

直线的方程与性质

一、平面直线

1. 两点式

2.点向式

3.点法式

4.角距式

5.一般式

6.参数方程

二、直线性质

1.点到直线的距离

2.归一化

3.两条直线的夹角

4.直线的交点

4.1 两条直线的交点

4.2 多条直线的交点

5.点到直线的垂足

6. 点关于直线的对称点

7.拟合直线

7.1 直接线性变换法

7.2 最小二乘法，最小化点到直线的竖直距离

7.3 主成分分析法，最小化点到直线的垂直距离

8. 线性组合

三、空间直线

1. 两点式

2. 两向式

3. 点向式

4. 点到直线的距离

5. 两条直线的距离

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