算法思想 - 分治算法
其实相比于分治算法，我更愿意称之为分治“思想”。因为这种思想的应用非常广泛，不仅是在计算机中，在生活中到处都是分治思想的影子。当一项工程庞大到一个个体无法完成，我们就需要和别人进行合作，这种合作其实就是分治思想。当然，具体到计算机领域，分治算法就有了更加严格的约束。
分治算法
分治算法（divide and conquer）的核心思想就是四个字，分而治之。也就是将问题划分成多个规模较小，并且结构与元问题相似的子问题，依次（常常使用递归）地解决这些子问题，然后再合并其结果，就可以得到原问题的解。
分治算法的基础步骤
由于分治算法常常使用递归来实现，所以推广开来，在使用递归实现分治算法的过程中，每一层递归都应该有这样三个操作：
- 分解：将原问题分解成一系列子问题
- 解决：当问题分解到一定程度，可以很容易地解决这个问题
- 合并：将子问题的结果合并，最终形成原问题的解
分治算法要满足的条件
一个算法是直接运行在计算机上的，所以一个算法首先要能够在计算机上实现，因此，我们会对分治算法提出一些要求：
- 原问题和分解后的小问题具有相同的模式。如果你的问题非常复杂，分解后需要解决的问题很多，那你应该考虑将这个问题定义为一项“工程”，而不要尝试使用一个算法就解决它
- 元问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法和动态规划的最明显的区别。
- 具有分解终止条件。当问题足够小时，可以直接求解，这也对应了递归中的终止条件。
- 可以将子问题的结果合并成原问题的结果，且合并不能太复杂
分治算法应用举例
分治算法的原理非常简单，但是想要灵活应用却很不容易。接下来，让我们通过一个例子，深入了解分治算法的思想。
在之前的排序算法中，我们讲过有序度和逆序度的概念，它等于一个数组中逆序对的个数：
逆序对.jpg
请问，如何求一组数的逆序度呢？
最先想到的就是对每个数组逐一和后面的数字进行比对，将逆序度相加，这是非常暴力的解决方式，我们可以使用分治算法来试试：
我们想求数组 A 的逆序对的个数，首先可以将它分解成前后两半 A1 和 A2 ，分别计算他们的逆序对个数 K1 和 K2，然后计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。则数组A 的逆序对个数就是 K1+K2+K3。
这个过程是不是让你想到了归并排序？没错，我们可以通过改造归并排序，得到一个数组的逆序度。
归并排序中有一个非常关键的操作，就是合并两个数组，在这个合并的过程中，我们可以计算两个数组的逆序对个数了。每次合并操作，我们都可以计算一部分逆序度，当合并完成时，就可以获得这个数组的逆序数了：
求逆序对-使用归并.jpg
具体代码如下：
private int num = 0; // 全局变量或者成员变量
public int count(int[] a, int n) {
num = 0;
mergeSortCounting(a, 0, n-1);
return num;
}
private void mergeSortCounting(int[] a, int p, int r) {
if (p >= r) return;
int q = (p+r)/2;
mergeSortCounting(a, p, q);
mergeSortCounting(a, q+1, r);
merge(a, p, q, r);
}
private void merge(int[] a, int p, int q, int r) {
int i = p, j = q+1, k = 0;
int[] tmp = new int[r-p+1];
while (i<=q && j<=r) {
if (a[i] <= a[j]) {
tmp[k++] = a[i++];
} else {
num += (q-i+1); // 统计p-q之间，比a[j]大的元素个数
tmp[k++] = a[j++];
}
}
while (i <= q) { // 处理剩下的
tmp[k++] = a[i++];
}
while (j <= r) { // 处理剩下的
tmp[k++] = a[j++];
}
for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从tmp拷贝回a
a[p+i] = tmp[i];
}
}
如果你是python使用者，你可以参考我的代码（我直接使用了之前在归并排序中给出的代码，所以都是之前的注释）
import random
l = [40, 55, 94, 82, 60, 20, 42, 70, 93, 58]
a = [20, 40, 42, 55, 58, 60, 70, 82, 93, 94]
num = 0 # 设置一个全局变量
def merge_sort(L):
'''
启动归并排序
:param L: 待排序数组
:return: 无返回
'''
_merge_sort(L, 0, len(L) - 1)
def _merge_sort(L, left, right):
'''
在这个函数中实现递归
:param L:
:param left: 归并区间的起始指针（角标）
:param right: 结束指针（角标）
:return: 无返回
'''
if left < right:
mid = (left + right) // 2
_merge_sort(L, left, mid)
_merge_sort(L, mid + 1, right)
merge(L, left, mid, right)
# 请注意调用顺序，我们先分割排序，然后合并
def merge(L, left, mid, right):
'''
合并两个数组，这里需要使用一个临时数组存储合并的数据
'''
global num # 声明num为全局变量
temp = []
i = left # i为左边数组的起始位置
j = mid + 1 # j为右边数组的起始位置
while i <= mid and j <= right: # 两边数组进行比较
if L[i] < L[j]:
temp.append(L[i])
i += 1
else:
num += mid - i + 1 # 计算逆序度
temp.append(L[j])
j += 1
# 确保两个指针都走到最后
while i <= mid:
temp.append(L[i])
i += 1
while j <= right:
temp.append(L[j])
j += 1
L[left:right + 1] = temp # 将临时变量放入数组中
# _sort = merge_sort(l)
# print(_sort)
# print(l)
if __name__ == "__main__":
data = list(range(5))
random.shuffle(data)
print(data)
merge_sort(data)
print(data)
print(num)
总结
分治算法的思想在于：拆->解决->合并。这是一个非常重要的算法思想，实际上，之前我们讲到的很多内容都用到了分治的思想，在这里，就不过多介绍相关例子了，你可以回顾之前的内容，相信你会有更多收获。
以这个思想为基础，人们建立了计算机中的分布式集群处理系统。两者的差距似乎很大，但是它们的联系却又如此简单。最后，附上专栏老师的一段话，希望你可以走的更远：
其实，创新并非离我们很远，创新的源泉来自对事物本质的认识。无数优秀架构设计的思想来源都是基础的数据结构和算法，这就是算法的魅力所在。
以上就是分治算法的全部内容
注：本文章的主要内容来自我对极客时间app的《数据结构与算法之美》专栏的总结，我使用了大量的原文、代码和截图，如果想要了解具体内容，可以前往极客时间
