梯度下降求解逻辑回归

模块：

• 线性回归函数
• sigmoid函数
• cost损失函数
• 二分类逻辑回归
• 梯度计算

1、线性回归函数

def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

2、 sigmoid函数

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

3、 二分类逻辑回归：

对于每一个样本：
预测分类 为类别1 的概率函数：

预测分类 为类别0 的概率函数：

合并函数（y=1）：

所有样本累乘取得似然函数：

对数似然：

4、cost损失函数

损失函数即是对数似然加负号
1）对数似然求的是每个样本的 预测值==真实值 的概率
2）损失函数是每个样本的 预测值 != 真实值 的衡量标准

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))

5、梯度计算

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta)- y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
    
    return grad

总结：

• 当样本数很大时，使用批量下降法很费时
• 小的学习率可以使cost下降比较稳定
• 对数据预处理可以使cost下降比较稳定
• 更多的迭代次数可以使cost损失下降的更多
• 对于大数据，使用小批量数据梯度下降法不仅能解决速度问题，还可以多增加迭代次数

完整代码：

import time
import numpy as np
import pandas as pd

pdData = pd.read_csv('LogiReg_data.txt', header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
## 数据预处理
pdData.insert(0, 'Ones', 1)  # 特征 (1, x1, x2, x3, ... , xn)
data = pdData.values
X = data[:, :-1]
y = data[:, -1]
theta = np.zeros(X.shape[1])

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2


def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:
        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:
        return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:
        return np.linalg.norm(value) < threshold


def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    X = data[:, :-1]
    y = data[:, -1]
    return X, y


def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))  


def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / len(X)


def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = model(X, theta) - y
    for j in range(len(theta)):
        term = np.multiply(error, X[:, j])
        grad[j] = np.sum(term) / len(X)

    return grad


def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # 1 < batchSize < n 时，使用 小批量梯度下降法
    # batchSize = n 时，使用 批量梯度下降法
    # batchSize = 1 时，使用 随机梯度下降法
    init_time = time.time()
    m, n = data.shape
    i = 0
    k = 0
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape)
    costs = [cost(X, y, theta)]

    while True:
        grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)
        k += batchSize
        if k >= n:
            k = 0
            X, y = shuffleData(data)
        theta = theta - alpha * grad
        costs.append(cost(X, y, theta))  # 计算新的损失
        i += 1

        if stopType == STOP_ITER:
            value = i
        elif stopType == STOP_COST:
            value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:
            value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break

    return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time


def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:, 1] > 2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize == n:
        strDescType = "Gradient"
    elif batchSize == 1:
        strDescType = "Stochastic"
    else:
        strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER:
        strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST:
        strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else:
        strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    return theta

n = 100

runExpe(data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)